2.6. Равносильные формулы
Две формулы Ф и
называются равносильными или
эквивалентными (обозначаются
или
),
если они задают одну и ту же булеву
функцию, т.е. при любых значениях
пропозициональных букв, входящих в них,
Ф и
принимают одинаковые значения.
Отношение равносильности на множестве
формул является отношением эквивалентности.
Действительно, легко заметить, что
каждая формула равносильна себе
(рефлективность); если
,
то
(симметричность); если
и
,
то
(транзитивность).
Теорема об эквивалентной замене.
Если
- формулы и
является подформулой формулы Ф, причем
и формула
-
есть результат замены какого-либо
вхождения в Ф подформулы
на
,
то
.
В заключение этого пункта введем еще три часто употребляемые понятия. Формула Ф называется противоречивой (или невыполнимой), если она принимает только значение ложь, выполнимой в противном случае, опровержимой, если она не является тавтологией.
Формула
является противоречивой, а
- опровержимой и выполнимой.
Акцентируя внимание студентов, что проверка того, является ли данная формула тавтологией, является одновременно и проверкой на опровержимость. Эту проверку можно производить и методом построения контрпримера, только на первом шаге нужно присваивать формуле значение И: этот же процесс проверяет формулу на выполнимость.
2.7. Некоторые логические законы
Здесь мы перечислим наиболее употребляемые логические соотношения. Их знание облегчает логические рассуждения. Все они легко доказываются построением таблиц истинности.
Закон двойного отрицания:
.Действия с константами (И – тавтология, Л – противоречивая формула):
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
Идемпотентность, коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность для конъюнкции и дизъюнкции:
а)
(идемпотентность);
б)
(коммутативность);
в) 
(ассоциативность);
г) 
(дистрибутивность).
Законы де Моргана (выражение конъюнкций через дизъюнкцию и дизъюнкции через конъюнкцию):
.Закон противоречия и исключения третьего:
.Выражение импликации через дизъюнкцию и отрицание:
.Закон контрапозиции:
.Выражение эквивалентности через импликацию и конъюнкцию:
.
Законы поглощения:
.
Для доказательства эквивалентностей
можно пользоваться методом равносильных
цепочек, основанный на теореме об
эквивалентной замене. Например,
.
В [1] на с. 89-90 приведен список тавтологий, описывающих свойства логических операций.
2.8. Нормальные формы
Для произвольной пропозициональной
переменной А и булевой константы
введем обозначение
в силу этого определения
.
Элементарной дизъюнкцией и
элементарной конъюнкцией
называются соответственно формулы
,
где
- пропозициональные переменные.
В силу определения дизъюнкции элементарная
дизъюнкция ложна (равна 0) тогда и только
тогда, когда переменные одновременно
примут значения
.
Из определения конъюнкции получаем,
что элементарная конъюнкция истинна
(равна 1) тогда и только тогда, если
.
Пусть
- фиксированные булевы векторы. Формула
вида
имеет совершенную дизъюнктивную форму
(СДНФ). Она принимает значение И
только в
случаях, когда
.
Формула вида
имеет совершенную конъюнктивную форму
(СКНФ). Она принимает значение Л
только в
случаях, когда
.
Указанные в предыдущем пункте логические законы и тавтологии позволяют упрощать формулы, а также, приводить формулы к ДНФ, к СДНФ.
Пример 1. Упростим формулу
.
Используя законы де Моргана и выражение
импликации через дизъюнкцию получаем:
.
Закон двойного отрицания позволяет
полученную формулу записать в виде
.
Операция конъюнкция коммутативна, т.е.
окончательно получим СДНФ для исходной
формулы:
.
Заметим только, что последняя формула
эквивалентна
.
Действительно, если
принимает значение истина, то одна из
двух конъюнкций
истинна, и дизъюнкция Ф тоже будет
истинна. Если же
принимает значение ложь, то обе указанные
конъюнкции ложны и формула Ф принимает
значение ложь. Таким образом,
.
Пример 2. Приведем формулу
равносильными преобразованиями к ДНФ
и, если возможно, к СДНФ. Выразим
эквиваленцию через импликацию и
конъюнкцию:
.
Благодаря свойству ассоциативности
конъюнкции внешние скобки можем сдвинуть;
после чего выразим импликацию через
дизъюнкцию и отрицание:
.
По закону поглощения
,
тогда
.
Теперь воспользуемся законами
дистрибутивности и ассоциативности
конъюнкции и получим ДНФ для формулы
.
Легко заметить, что формула Ф тождественно
ложна, т.е. не имеет СДНФ.
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
или
:
;
Разъяснение. Для построения
СДНФ
в таблице выделяем строки, в которых
принимает значение 1, и получаем 3 булевых
вектора
,
,
,
и т.д. Для построения СКНФ
в таблице выделяются строки, в которых
принимает значение 0, и получаем 5 булевых
векторов
,
,
,
,
,
по которым находим
и т.д.
Обращаем внимание студентов, что СДНФ существует только для тех булевых функций, которые принимают хотя бы один раз значение 1, а СКНФ существует только для тех функций, которые хотя бы один раз принимают значение 0.
Пример 3. Продемонстрируем на примере один из способов построения формул по таблицам значений (с точностью до равносильности).
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
,
причем, если буква имеет значение 0, то
перед ней ставится знак
.
В нашем случае мы строим элементарные
дизъюнкции для 2-й, 5-й, 7-й строчек:
,
,
.
Тогда
,
т.е. является дизъюнкцией построенных
элементарных конъюнкций.
Обратите внимание на то, что нами получена СДНФ.
Данный способ не применим в том случае,
когда формула всегда принимает значение
0 (тождественно ложна). Но тогда в качестве
Ф можно, например, взять
(если необходимо вхождение всех букв
).
Контрольные вопросы и упражнения
Сформулировать высказывание, заданное формулой
.
Является ли оно истинным, если А
означает «число а делится на число
b»; В – «число а делится на
число с»; С – «число а делится
на произведение b и с» (а, b,
с – заданные целые числа)?Выяснить, какие из данных формул являются тавтологиями:
а)
;
б)
;
в)
.
Найти СДНФ и СКНФ для формул:
а)
;
б)
.
Указать алгоритм нахождения ДНФ, СДНФ равносильными преобразованиями.
Что можно сказать об однозначности ДНФ (привести примеры), об однозначности СДНФ?
Указать тавтологии, позволяющие выражать одни операции через другие.
Указать, по крайней мере, 3 различные полные системы логических связок, т.е. такие, через которые выражаются все логические операции.
Данные формулы упростить путем равносильных преобразований (сделать их менее громоздкими):
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Следующие формулы равносильными преобразованиями привести к ДНФ, СДНФ:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Следующие формулы равносильными преобразованиями привести к КНФ, СКНФ:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Построить формулы по таблицам значений:
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Построить формулу Ф такую, чтобы данная формула была тавтологей:
а)
;
б)
.
Построить формулу от трех переменных, которая истинна в том и только том случае, когда ровно две переменные ложны.
По СДНФ формул Ф и построить СДНФ формул
,
,
.