Тема II логика высказываний

2.1. Высказывания и операции над ними

Под высказыванием в логике понимают предложение, относительно которого имеет смысл утверждать, что оно истинно или ложно. Например, « » – истинное высказывание; « » – ложное высказывание; « » – высказывание, истинность которого мы затрудняемся указать, но в принципе оно существует; « », «чему равен ?» – не высказывания. Высказывания будем обозначать буквами латинского алфавита с индексами или без них.

Из высказываний, путем соединения их различными способами, можно получить новые высказывания.

О трицанием высказывания А (обозначается через А или ) является высказывание, которое истинно, если А – ложно, и ложно, если А – истинно. читается «не А» или «неверно, что А».

«Неверно, что » – ложное высказывание, «неверно, что диагонали параллелограмма - конгруэнтны» – истинное высказывание.

Истинностное значение высказываний будем обозначать буквами И – «истина» или Л – «ложь».

Конъюнкцией высказываний А и В (обозначается через или ) является высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны одновременно. читается «А и В».

Например, « и снег черный» - ложное высказывание, « и - иррациональное число» - истинное высказывание.

Дизъюнкцией высказываний А и В (обозначается через ) является высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны одновременно. читается «А или В».

Например, « или » - истинное высказывание, « или 4 - простое число» - ложное высказывание.

Иногда студентам кажется, что утверждение об истинности неравенства типа противоречит здравому смыслу. Чтобы разубедиться в этом, следует вспомнить, что символ означает «больше или равно» и поэтому означает дизъюнкцию высказываний « » и « »: , из которых высказывание « » - истинно. Неравенство ложно, так как в дизъюнкции оба высказывания ложны. Также дизъюнкция - истина, если и принадлежат множеству действительных чисел .

Импликацией высказываний А и В (обозначается через или ) является высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно. читается «если А, то В».

Например, «если , то 2 – простое число» - истинна, «если , то 2 – простое число» - истина, «если , то неверно, что 2 – простое число» - истина, «если , то неверно, что 2 – простое число» - ложь.

При составлении высказываний с помощью логических операций не требуется, чтобы входящие в его состав высказывания А и В имели между собой связь по содержанию. Введенная импликация - это так называемая материальная импликация, рассматриваемая в классической части математической логики.

Эквиваленцией высказываний А и В (обозначается через или , или ) является высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинностные значения высказываний А и В совпадают. читается «А тогда и только тогда, когда В».

Например, « тогда и только тогда, когда кровь зеленого цвета» - истинна.

Приведем истинностные таблицы для рассмотренных операций над высказываниями, которые можно рассматривать и как определения соответствующих операций

А			А	В
и	л		и	и	и	и	и	и
л	и		и	л	л	и	л	л
			л	и	л	и	и	л
			л	л	л	л	и	и

Символы будем называть пропозициональными связками.