3. Декартово произведение и отношения

Из школьного курса математики студенту известно понятие упорядоченной пары элементов, вводимое там на интуитивном уровне. В данном разделе студент должен познакомиться с формальным определением упорядоченной пары и, в общем случае, с определением упорядоченного набора из элементов.

Важно усвоить и сам индуктивный метод, используемый для определения.

Дадим определение упорядоченного набора:

а) набор двух элементов а и называется упорядоченной парой;

б) если , то упорядоченным набором элементов называется набор , т.е. упорядоченная пара элементов и .

Упорядоченный набор называют кортежем или последовательностью, или, при , упорядоченной -кой, или -кой (тройкой, четверкой и т.д.), а число - длиной кортежа . При этом кортеж длины 1 отождествляется с а. Следует особо подчеркнуть, что по записи кортежа не только его члены, но и их порядок восстанавливаются однозначно. Так, , так как хотя эти тройки и состоят из одних и тех же элементов, но элементы записаны в различном порядке.

Покажем, что тогда и только тогда, когда одновременно.

Согласно определению кортежа, достаточно доказать утверждение для . Из определения упорядоченной пары следует, что тогда и только тогда, когда . Последнее соотношение возможно тогда и только тогда, когда или , т.е. , а это возможно только при . Но тогда и только тогда, когда . Отсюда .

Понятие упорядоченного набора позволяет теперь ввести основные факты теории отношений.

Множество называется декартовым (прямым) произведением множеств и обозначается через .

Пример. Если , то .

Если , то называется -той декартовой степенью множеств А и обозначается . При .

Подмножество множества называется -местным

( -арным) отношением между элементами множеств . Если , то называют однородным отношением, определенным на множестве А. Индекс над указывает на местность отношения. При индекс обычно не ставят. Такие отношения называются двуместными или бинарными.

Отметим, что в окружающем мире, и особенно в математике, нам приходится сталкиваться с многочисленными примерами отношений. Так отношение на множестве действительных чисел состоит из всех пар вида , где вторая компонента не меньше первой ( и др.); отношение параллельности на множестве прямых плоскости состоит из всевозможных пар , где прямая х параллельна прямой у. Можно привести и примеры отношений, не имеющих столь важного значения: , и т.п. Важнейший класс бинарных отношений составляют функции. Операции умножения, сложения можно трактовать как отношение вида , т.е. тернарные. Так, отношение «сумма» состоит из всевозможных троек , где .

Если , то двуместное отношение называется обратным к .

Определение показывает: чтобы построить пары, составляющие отношение , необходимо переставить компоненты в парах, составляющих отношение .

Примеры.

1. Если , то .

2. Для отношения обратным будет отношение .

3. Для функционального отношения на множестве положительных чисел x , или , где , или , обратным является обратная функция , или , или .

Для бинарных отношений введем определение композиции; следует знать, что это определение является соответственным обобщением обычной композиции функций.

Если , то композицией называется отношение существует такое , что и .

Примеры.

1. Если , то .

2. В курсе алгебры студенты I курса изучают подстановки, а также, операции композиции (умножения) и обращения на множестве подстановок. Ясно, что примеры умножения подстановок и нахождения обратной подстановки иллюстрируют умножение отношений и нахождение обратных отношений.

Многие другие примеры отношений, а также, операций на них, рекомендуем посмотреть в [1], с. 39-43.

Определения. Двуместное однородное отношение на множестве называется

а) диагональю А и обозначается , если ;

б) рефлексивным на А, если ;

в) симметричным, если ;

г) транзитивным, если ;

д) антисимметричным, если .

Полезно запомнить следующие характеристические свойства классов отношений, для которых приведено определение.

Рефлексивное отношение содержит все пары вида , где . Симметричное отношение, наряду с парой обязательно содержит пару . С другой стороны, антисимметричное отношение не может содержать одновременно пары и при . Наконец, транзитивное отношение вместе с парами и содержит пару .

Как показывает практика, усвоение этих определений вызывает у студентов значительные трудности, поэтому советуем внимательно разобрать приведенные примеры.

1. Отношение является рефлексивным, симметричным и транзитивным на множестве , а на множестве это отношение является симметричным и транзитивным, но не рефлексивным, так как .

2. Отношение на множестве является рефлексивным и симметричным, но не транзитивным, так как , ибо , но .

3. Отношение является антисимметричным, транзитивным, но не является симметричным и рефлексивным на множестве .

4. отношение перпендикулярности для прямых, лежащих в одной плоскости, является симметричным (если , то и ), но не является ни рефлексивным (не верно, что ), ни транзитивным (если и , то не верно, что ).

5. отношение равенства для чисел является одновременно рефлексивным ( ), симметричным (если , то и ), антисимметричным и транзитивным (если и , то ).