V. Решить задачу

1. Доказать, что если формула логики предикатов – тавтология, то – тавтология.

2. Пусть содержит только х и является тавтологией. Доказать, что – тавтология. Верно ли обратное утверждение?

3. Сколько имеется различных k-местных предикатов на n-элементном множестве?

4. Доказать, что из выполнимости формулы следует выполнимость формулы .

5. Показать, что выполнима тогда и только тогда, когда не тождественно истинная формула.

6. Показать, что если свободна для у, то .

7. Показать, что если свободна для у, то .

8. Доказать, что если формула логики предикатов – тавтология, то – тавтология.

9. Пусть не содержит свободно х, – формула, тогда если , то .

10. Пусть не содержит свободно х, – формула, тогда если , то .

11. Доказать, что если формула логики предикатов – тавтология, то – тавтология.

12. Доказать, что – тавтология тогда и только тогда, когда не выполнима.

13. Доказать, что если содержит свободно только х и является тавтологией, то – тавтология.

14. Доказать, что бескванторная формула является тавтологией тогда и только тогда, когда она получается подстановкой из тавтологии алгебры высказываний.

15. Сколько имеется различных n-местных предикатов на 2-элементном множестве?

16. Доказать, что если формула логики предикатов – тавтология, то – тавтология.

17. Доказать, что из выполнимости формулы следует выполнимость .

18. Доказать, что если , то .

19. Пусть содержит свободно только х, и . Доказать, что . Верно ли обратное?

20. Пусть и содержит свободно только х, тогда .

21. Доказать, что если , то .

22. Доказать, что если , то .

23. Доказать, что если свободна для у, то .

24. Доказать, что тогда и только тогда, когда тождественно ложна.

Дополнительные вопросы

1. Найти все эквивалентности и частичные порядки на множестве .

2. Образуют ли группу все отношения на множестве М, если в качестве операции берется композиция отношений?

3. Доказать, что пропозициональная формула от n переменных является тавтологией тогда и только тогда, когда ее совершенная дизъюнктивная нормальная форма содержит 2ⁿ дизъюнктивных членов.

4. Доказать, что если – пропозициональная формула, то .

5. Доказать или опровергнуть, что: а) ; б) .

6. Доказать, что для любых пропозициональных формул, если , то .

7. Доказать, что тогда и только тогда, когда .

8. Доказать, что для любых пропозициональных формул, если , то .

9. Построить выводы в теории L: а) ; б) ; в) .

10. Доказать, что бескванторная формула тождественно истинна тогда и только тогда, когда она может быть получена подстановкой из некоторой тавтологии алгебры высказываний.

11. Для предиката найти равносильный, который не содержит кванторов.

12. Являются ли формулы

а) ; б)

тавтологиями?

13. Пусть – два одноместных предиката, определенные на множестве М такие, что высказывание истинно. Доказать, что высказывание – ложно.

14. Для трехместного предиката с помощью кванторов и построить все соответствующие ему высказывания. Выяснить их истинность.