2.4.Тавтологии

Формула Ф логики высказываний называется тавтологией (или общезначимой, или тождественно истинной), если булева функция тождественно равна И. Например, формулы , как легко видеть, являются тавтологиями. Тот факт, что формула Ф является тавтологией, обозначается .

Следует подчеркнуть, что изучением смысла простых высказываний логика не занимается, это дело тех конкретных наук, к которым эти высказывания относятся. Логика же определяет значение сложных высказываний в зависимости от значений простых, т.е. исследует зависимость истинностных значений сложных высказываний от истинностных значений простых.

Пример 1. Выяснить, является ли тавтологией формула . Для этого построим таблицу истинности:

А	В
и	и	и	и	и	и
и	л	л	л	л	и
л	и	л	и	л	л
л	л	и	Л	и	л

Как видно из последнего столбца таблицы, ответ в этом примере получается отрицательный.

Пример 2. Выяснить, является ли тавтологией формула ? Построим истинностную таблицу

А	В	С
и	и	и	и	и	и	и	и
и	и	л	и	л	л	л	и
и	л	и	л	и	л	и	и
и	л	л	л	и	л	л	и
л	и	и	и	и	и	и	и
л	и	л	и	л	л	и	и
л	л	и	и	и	и	и	и
л	л	л	и	и	и	и	и

Таким образом, рассматриваемая формула является тавтологией.

Подчеркнем, что истинностные таблицы дают эффективную процедуру для решения вопроса о том, является ли данная пропозициональная формула тавтологией.

Теорема (правило modus ponens (MP) для тавтологий). Если и , то .

Действительно, пусть при некоторых значениях переменных ложь. При тех же значениях – истина, так как Ф – тавтология. Из определения импликации тогда следует ложь, что противоречит условию .