2.2. Анализ сложного высказывания

Если А и В высказывания, означающие соответственно « » и «2 - простое число», то формула представляет сложное высказывание «если неверно, что или 2 – простое число, то и неверно, что 2 – простое число». Сложное высказывание считается заданным тогда и только тогда, когда оно допускает единственный анализ, т.е. однозначно определена последовательность его получения из простых высказываний с помощью пропозициональных связок. Так, для рассматриваемого высказывания эта последовательность будет следующей:

1 1 1 1 2 2 3 3 4	определяем истинностные значения А и В; определяем истинностные значения и ; определяем истинностные значения и ; определяем истинностное значение .

Очередность выполнения операций при формальной записи определяется скобками. Во избежание нагромождения скобок в логике, как и в арифметике, принято соглашение о порядке действий, при котором при отсутствии скобок логические операции выполняются в следующем порядке: . Так, рассматриваемая формула может быть записана в виде .

Пример 1. Высказывание «неверно, что хотя бы одно из чисел 19, 21, 36 является квадратом натурального числа» расчленим на простые и запишем, используя операции над высказываниями. Обозначим А = «число 19 является квадратом натурального числа», В = «число 21 является квадратом натурального числа», С= «число 36 является квадратом натурального числа», тогда высказывание можно прочитать: «хотя бы одно из чисел 19, 21, 36 является квадратом натурального числа». А исходное высказывание можно записать скудеющим образом: . Заметим, что высказывания А, В – ложны, высказывание С – истинно, высказывание – истинно, а исходное высказывание – ложно.

Пример 2. Формула анализируется следующим образом:

1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4	определяем истинностные значения А, В, С; определяем истинностные значения и , ; определяем истинностные значения и ; определяем истинностное значение .

Истинностные таблицы для пропозициональных связок позволяют по известным истинностным значениям простых высказываний определять истинностное значение любого сложного высказывания.

Пример 3.

л и л и и л л л и	и и и л и л и и и и и и

Контрольные вопросы и упражнения

1. Какие из следующих предложений являются высказываниями:

а) Волга впадает в Азовское море;

б) студент математического факультета;

в) ;

г) ;

д) .

2. Пусть А – «сегодня ясно», В – «сегодня идет дождь», С – «сегодня идет снег», D – «вчера было пасмурно». Переведите на обычный язык следующие предложения:

а) ; в) ;

б) ; г) .

3. Следующие составные высказывания расчленить на простые и записать символически, введя сокращенные обозначения для простых их членов (т.е. для предложений, не содержащих связок, соответствующих логическим операциям):

а) идет дождь или кто-то не выключил душ;

б) если 18 делится на 2 и делится на 3, то оно делится на 6;

в) треугольник равносторонний тогда и только тогда, когда он равнобедренный;

г) неверно, что хотя бы одно из чисел 19, 21, 36 является квадратом натурального числа.

4. Пусть А = 1, В = 1, С = 0, D = 0. Найти истинностное значение каждого из высказываний:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

5. Пусть . Что можно сказать о значении высказывания ?

6. Пусть . Что можно сказать о значениях высказываний и ?

7. Сколько существует различных унарных и бинарных операций над высказываниями? Задать все эти операции с помощью таблиц.

8. Исключающей дизъюнкцией (или суммой по модулю 2) двух высказываний А и В называется высказывание (либо А, либо В), которое истинно, когда одно, и только одно, из данных высказываний истинно. Задать операцию «+» таблицей и выразить ее через основные операции над высказываниями.

9. Логические операции «штрих Шеффера» ( ) и «штрих Лукасевича» ( ) задаются таблицами:

0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Доказать, что все основные логические операции можно выразить только через штрих Шеффера либо только через штрих Лукасевича.

10. Доказать, что каждая тернарная логическая операция может быть выражена через основные бинарные.