5.2.Типы предикатов.

Обратите внимание на то, что определение дает классификацию предикатов по их местности. Большой интерес представляет проведение классификации предикатов по их множествам истинности.

Если A(x_1­,…,x_n) определен на M₁,...,M_n, и {x₁,..,x_nA(x_1­,…,x_n)}=M₁×…×M_n, то предикат A(x_1­,…,x_n) называется тождественно истинным; если {<x₁,..,x_nA(x₁,…,x_n)}=Ø , то A(x_1­,…,x_n) – тождественно ложный предикат; наконец, если {<x₁,..,x_nA(x_1­,…,x_n)}≠Ø, то предикат A(x_1­,…,x_n) называется выполнимым.

Следует иметь в виду и «функциональную» характеристику приведенных типов предикатов. Тождественно истинный предикат принимает значение только 1; тождественно ложный - только 0; выполнимый предикат принимает значение 1 хотя бы для одной последовательности значений переменных.

Примеры. Предикат x²+y²≥0– тождественно истинный, x>y - выполнимый, x²+x+1=0 - тождественно ложный на множестве действительных чисел. Ясно, что первому предикату удовлетворяет любая упорядоченная пара действительных чисел, второму предикату удовлетворяет, например, пара (1,0), а третий предикат – квадратное уравнение без действительных корней, ему не удовлетворяет ни одно число из R .

Два n–местных предиката A(x_1­,…,x_n) и B(x_1­,…,x_n), определенные на одних и тех же множествах M₁,...,M_n, называются равносильными, если их значения для любого набора значений переменных совпадают. Обозначают

A(x_1­,…,x_n)=B(x_1­,…,x_n).

Для неравенств и уравнений введенное понятие равносильности предикатов совпадает с понятием равносильности или эквивалентности, хорошо известным из школьного курса математики. Заметим также, что отношение равносильности на множестве предикатов рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. является эквивалентностью. Предикаты, относящиеся к одному и тому же классу, задают одну и ту же функцию.

Примеры. (x²=y²)≡(x²-y²=0)=((x-y)(x+y)=0),(x>3)≡(x ]3;∞[≡(x-3>0),(x²-3x+2=0)≡(x=2 или x=1).

Предикат A(x_1­,…,x_n) называется следствием предиката B(x_1­,…,x_n), если всякая последовательность значений переменных, удовлетворяющая второму предикату, удовлетворяет и первому.

Очевидно, {<x₁,…,x_n>| A(x_1­,…,x_n) } {<x₁,…,x_n>| B(x_1­,…,x_n) }

Теорема. Два предиката, определенные на одних и тех же множествах, равносильны тогда и только тогда, когда каждый предикат является следствием другого.

Примеры. Предикат x>1 является следствием предиката x>2.

Предикат (x+1)(x-3)=0 является следствием x+1=0.

5.3. Простейшие логические операции над предикатами.

Перед изучением вопросов этого пункта следует повторить определение логических операций над высказываниями.

Обычно в учебных пособиях рассматривается 5 основных логических операций над предикатами, которые соответствуют операциям над высказываниями.

Если A(x_1­,…,x_n) определен на множествах M₁,...,M_n, то его отрицанием является предикат A(x_1­,…,x_n), причем для набора < α_1­,…,α_n > высказывание A(α_1­,…,α_n) истинно тогда и только тогда, когда A(α_1­,…,α_n) ложно.

Пример. A(x)=(x>0), A(x)= (x>0)≡(x≤0)

Конъюнкцией n–местного предиката A(x_1­,…,x_n), определенного на множествах M₁,...,M_n, и B(y_1­,…,y_m), определенного на множествах N₁,...,N_m, является (n+m)-местный предикат. A(x_1­,…,x_n)B(y_1­,…,y_n), определенный на множествах M₁,...,M_n,N₁,...,N_m, и принимающий значение «истина» для тех и только тех последовательностей <α₁,…,α_n,β₁,…,β_m>, для которых оба высказывания A(α₁,…,α_n) и B(β₁,…,β_m) - истинны. Аналогично определяются операции , .

Примеры. Предикат (x>y)(z²-4z+3=0) принимает значение 1 для набора значений переменных <-4,-5,1> и 0 для набора <0,1,3>. Предикат «х – простое число» «у – грек», (х – определено на множестве натуральных чисел, у – на множестве людей) принимает значение 1 для наборов <7,Сократ>, <8, Наполеон> и др., 0- для набора <3, Наполеон>, <5, Пушкин> и др. Предикат “х делится на у”(z>t), принимает значение 1 для набора <7,2,3,1>, так как «7 делится на 2» - ложно. 3>1 – истинно, а дизъюнкция истинна в том случае, когда хотя бы один член дизъюнкции имеет значение 1.

Мы более подробно обсудили последний пример. Обоснование предыдущих выводов проводится аналогично.

Может случиться, что предикаты, над которыми выполняются операции ,, , содержат общие переменные. Речь идет, конечно, не только о совпадении символа переменной, но и о совпадении области определения переменной. Обращаем внимание на то, что при определении местности результата выполнения операций над предикатами общая переменная считается только один раз. Например, предикат (x>y)  (y>z)имеет местность 3, предикат (u+t=0)(ut=0) имеет местность 2.

В общем случае, местность результата равна сумме местностей двух предикатов, над которыми выполняется операция, без количества общих переменных.

При изучении вопросов, связанных с понятием предиката, множеством истинности, простейшими логическими операциями над предикатами следует обратить внимание на то, что существует параллель между данными понятиями и алгеброй множеств и отношений.

Уже отмечалось, что для n-местного предиката A(x_1­,…,x_n), определенного на множествах M₁,...,M_n (или же на декартовом произведении M₁˟... ˟M_n), множество истинности является некоторым отношением ρM₁˟... ˟M_n.

Из определения операций над предикатами немедленно следует, что {<x₁,…,x_n| A(x₁,…,x_n)}= . Если предикат B(x₁,…,x_n) определен на тех же множествах, и его множество истинности равно σ, то множество истинности конъюнкции этих предикатов равно ρσ, дизъюнкции - ρσ. Таким образом, теоретико-множественным операциям дополнение, пересечение, объединение соответствуют логические операции , , . Указанные связи имеют более глубокий характер, чем может показаться на первый взгляд.

Контрольные вопросы и упражнения

1. Какие из следующих выражений можно рассматривать как предикаты при конкретном выборе области определения входящих в них переменных?

а) ; г) ;

б) х – истинно; д) ;

в) х включается в у; е) .

2. Найти множество истинности следующих предикатов, определенных на действительных числах:

а) ; в) ;

б) ; г) .

3. Привести по три примера предикатов равной местности на множестве действительных чисел на каждый из трех типов, причем выполнимый предикат не должен быть тождественно истинным.

4. Привести по два примера пар:

а) равносильных предикатов;

б) один из предикатов является следствием другого.

5. Дать определение операциям над предикатами.

6. Даны два одноместных предиката: и , определенные на множестве действительных чисел. Для каких действительных чисел истина:

а) конъюнкция; в) импликация;

б) дизъюнкция; г) эквиваленция

данных предикатов? Ту же задачу решить для предикатов и ; и .

7. Доказать для n-местных предикатов, определенных на одних и тех же множествах:

а) конъюнкция тождественно истинного предиката с любым другим равносильна последнему;

б) конъюнкция тождественно ложного предиката с другим есть тождественно ложный предикат;

в) дизъюнкция тождественно истинного предиката с любым другим есть тождественно истинный предикат;

г) дизъюнкция тождественно ложного предиката с любым другим равносильна последнему;

д) импликация двух предикатов тождественно истинна, если ее посылка тождественно ложна или заключение тождественно истинно;

е) импликация двух предикатов с тождественно истинной посылкой равносильна заключению;

ж) импликация двух предикатов с тождественно ложным заключением равносильна отрицанию посылки;

з) эквиваленция двух предикатов равносильна одному из ее членов тогда и только тогда, когда другой ее член тождественно истинен;

и) эквиваленция двух предикатов равносильна отрицанию одного из ее членов тогда и только тогда, когда другой ее член тождественно ложен.

8. Найти множество истинности следующих предикатов, определенных на множестве действительных чисел:

а) ; в) ;

б) ; г) .

9. Каким условиям удовлетворяют множества истинности предикатов и , определенных на множестве М, если:

а) конъюнкция их тождественно истинна;

б) конъюнкция их тождественно ложна;

в) конъюнкция их удовлетворяется всем элементам из множества истинности предиката ;

г) дизъюнкция их тождественно истинна;

д) импликация тождественно ложна;

е) эквиваленция их тождественно ложна;

ж) эквиваленция их удовлетворяется всеми элементами, принадлежащими множеству истинности предиката , и только такими элементами.

10. Выразить множество истинности предиката через множества истинности элементарных предикатов:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

11. Сколько существует различных k-местных предикатов, в которых переменные определены на n-элементном множестве М?