Тема V алгебра предикатов. Понятие об исчислении предикатов

5.1. Понятие предиката.

Студент, внимательно изучивший тему «Алгебра высказываний» не мог не заметить, что построенная теория обладает весьма ограниченными возможностями в плане обоснования выводов, умозаключений. Она оперирует с предложениями, как с неразделимыми блоками, не расчленяя их на составляющие и не имея возможности использовать эти составляющие для анализа умозаключения.

Например, логичность рассуждения «Всякое натуральное число есть целое число. 5 – натуральное число. Следовательно, 5- целое число» не может быть установленной в рамках алгебры высказываний.

Более широкими возможностями в этом плане обладает алгебра предикатов.

Изучая математику, мы привыкли оперировать с переменными x,y,… , которые принимают, как правило, значения числовых множеств. При введении понятия предиката мы будем иметь дело с переменными x, x₁, x_2, …, x_i,y_1,y₂,…. которые принимают значения из произвольных множеств (будем говорить, что переменная x_i определена на множестве M_i).

Рассмотрим предложение “x - делитель 12”, где x принимает значения из множества натуральных чисел N. При любом фиксированном значении x получаем некоторые высказывания: «3 – делитель 12», «5 - делитель 12» и т. д. (первое высказывание истинно, второе – ложно).

Предложение A(x), содержащее переменную x и превращающееся в высказывание при замене x элементом из области ее определения М, называется одноместным предикатом.

Приведем несколько примеров одноместных предикатов:

x²+3x+2=0, где x определена на R,

x>1, где x определена на Q,

« х – спортсмен», где переменная х определена на множестве студентов ДонНУ, и т.д.

В общем случае, предложение A(x_1­,…,x_n) содержащее переменные x_1­,…,x_n и превращающееся в высказывание при замене каждой из переменных x_i элементом α_i из области определения M_i, i=1, …, n, называется – n-местным предикатом.

Примеры. Выражение x>y, x,y R является двуместным предикатом; x²+y²+z²=1, x,y,z R - трехместный предикат; “x брат y”- двуместный предикат (x,y определены на множестве людей); линейное уравнение x₁+x₂+..+x_n=0, где неизвестные определены на множестве действительных чисел, является n-местным предикатом.

Подчеркнем еще раз, что местность предиката определяется количеством переменных, входящих в предикат. При фиксировании в n-местном предикате A(x_1­,…,x_n) одной переменной, например, x_i=α_i, получим (n-1) –местный предикат A(α₁,x_2­,…,x_n). Так, из предиката x>y, x,y R, при x=1, получаем одноместный предикат 1>y .

Если высказывание отождествлять с его значением (0 ли 1), то n-местный предикат A(x₁,…,x_n), по существу, является функцией от n переменных x_i, определенных на множествах M_i, i=1,..,n, принимающей значения 0,1.

Например, если A(x,y)=(x>y), x,y R , A(1,2)=0, A(3,-4)=1, A(1,1)=0 и т.д.

Замечание. В дальнейшем, если в примерах или задачах переменные принимают значeния из R, то для сокращения записи мы не будем отмечать это в условии задачи. Однако подчеркиваем, что предикат не определен полностью, если не указывать области определения переменных.

Пусть A(x_1­,…,x_n) – n-местный предикат, определенный на множествах M₁,…,M_n (т.е. x_i принимает значение из множества М_i). Если для последовательности <α₁, …, α_n> A(α₁, …, α_n)=1, то говорят, что последовательность <α₁, …, α_n> удовлетворяет предикату. В противном случае, последовательность не удовлетворяет предикату A(x_1­,…,x_n).

Пример. Упорядоченная тройка <0,1,-1> удовлетворяет предикату x+y+z=0 , а тройка <1,1,1>– не удовлетворяет этому предикату.

Множество всех упорядоченных последовательностей <α₁,…α_n> , удовлетворяющих предикату A(x₁,…x_n) составляет его множество истинности.

Обратите внимание, что мы при изучении первой темы уже оперировали предикатами. Предикаты задавали характеристические свойства множеств. Именно, запись {x|A(x)} – задавала множество истинности предиката A(x). Мы и в дальнейшем через {<x₁,…,x_n>|A(x₁,…,x_n)} будем обозначать множество истинности предиката A(x₁,…,x_n). Если предикат A(x₁,…,x_n) определен на множествах M₁,…,M₂ , то {<x₁,…,x_n>|A(x₁,…,x_n)}M₁×M₂×× M_n , т.е. множество истинности n-местного предиката является некоторым n-арным отношением.

Примеры. {x|x>2}=(2;∞); {x|x²-3x+2=0} = {1;2}; Множество {<x,y>|xy=0} составляет всевозможные упорядоченные пары действующих чисел, где, по крайней мере, одна компонента равна 0.

Заметим, что в учебном пособии [3] рассматривается «однородный» случай, когда все переменные, входящие в предикат определены на одном и том же множестве М. это несколько сужает возможные применения алгебры предикатов.