Общезначимость теорем. Непротиворечивость l
Целью исчисления высказываний, как уже говорилось, является описание тавтологий как теорем некоторой теории. Такое описание полезно потому, что в дальнейшем исчисление высказываний включается в более широкие формальные теории, для которых уже нет другого определения теорем, кроме как через понятие формального вывода. Нашей ближайшей целью является доказательство того, что теоремами теории L являются все тавтологии, и только они. Вторая часть этого утверждения доказывается совсем просто.
Теорема общезначимости теории L.
Каждая теорема теории L является тавтологией алгебры высказываний.
Для ее доказательства достаточно проверить, во-первых, что каждая формула вида (А1)-(А3) является тавтологией. Во-вторых, из правила modus ponens для тавтологий (см. п.2.4) следует, что каждое применение МР в выводах теории L приводит к тавтологиям. Поэтому любое доказательство, вывод теорем в теории L, состоит только из тавтологий, так что все теоремы являются тавтологиями.
Из этой теоремы сразу вытекает
непротиворечивость теории L,
т.е. невозможность доказать в этой теории
какую-нибудь формулу Ф вместе с ее
отрицанием
.
Действительно, не может быть, чтобы обе
формулы Ф и
были тавтологиями, а поэтому они не
могут быть одновременно теоремами
теории L.
Отсюда же следует и так называемая абсолютная непротиворечивость L – невозможность существования в этой теории хотя бы одной недоказуемой формулы (если Ф не является тавтологией, то она не выводима в L).
Полнота теории l
Справедлива теорема о полноте L. Если формула Ф теории L является тавтологией, то она – теорема теории L.
Доказательство этой теоремы основывается на лемме об условной выводимости:
Пусть Ф – формула теории L,
содержащая переменные
– булев вектор, т.е.
есть И или Л для каждого
.
Тогда
,
где
– истинное значение формулы Ф при
.
Напомним, что
означает А, а
.
Доказательство леммы приведено в [2].
Так как Ф – тавтология, то для любого
булева вектора
– И,
.
Полагая
– И, а затем
– Л, получим, в частности,
и
.
Воспользовавшись теоремой о дедукции
и утверждением (ж) леммы 2 (п.4.1) в виде
,
получим
.
Поступая таким же образом и далее,
отбросим последовательно все допущения
и придем к тому, что
.
Следствие о выводимости тавтологий логики высказываний. Пусть – формула алгебры высказываний, которая является сокращением (см. определения Д1-Д3 п.4.1), формулы Ф – теории L. Тогда является тавтологией тогда и только тогда, когда Ф есть теорема теории L.
Как уже отмечалось, определения (Д1-Д3) составлены из пар равносильных формул. Поэтому в силу теоремы об эквивалентной замене (п.2.6) , т.е. Ф является или не является тавтологией вместе с . Остается сослаться на теорему о полноте L и теорему общезначимости теории L.
Следствие о выводимости из допущений.
Пусть
,
Ф - формулы теории L.
Утверждение
имеет место тогда и только тогда, когда
(т.е. формула Ф выводима из допущений
тогда и только тогда, когда она является
их логическим следствием).
Действительно, рассматриваемые
соотношения можно переписать в виде
(по теореме о дедукции) и
(по определению логического следствия).
Легко убедится, например, методом «от
противного»,
,
поэтому последнее соотношение можно
переписать в виде
,
и утверждение вытекает из следствия о
выводимости тавтологий алгебры
высказываний.
Следствие о выводимой эквивалентности.
Формулы
и Ф теории L равносильны
тогда и только тогда, когда они выводимо
эквиваленты, т.е.
и
.
Упражнения
Доказать теоремы теории L:
а) ;
б)
;
в)
.