Тема IV исчисление высказываний
Теория l. Аксиомы и правила вывода
Исчисление высказываний – это формальная аксиоматическая теория, теоремами которой являются тавтологии алгебры высказываний, и только они. Существует много разных теорий, удовлетворяющих этому условию. Мы рассмотрим исчисление L, которое строится следующим образом.
В качестве переменных употребляются только буква А с индексами:
,
– пропорциональные буквы, из связок
вводятся только две: отрицание
и импликация
,
которые называются примитивными, и
скобки ( ).формулами теории L являются
все пропозициональные буквы суть формулы;
если и – формулы, то
и
– также формулы.
Итак, любая формула теории L – это пропозициональная формула, построенная из пропозициональных букв с помощью связок и .
Каковы бы ни были формулы , , Х теории L следующие формулы суть аксиомы:
А1.
;
А2.
;
А3.
.
Единственное правило вывода в L – modus ponens (МР): из формул Ф и непосредственно следует формула .
Связки
вводятся в L с помощью
определений:
Д1.
означает
;
Д2.
означает
;
Д3.
означает
.
Эти определения устанавливают процедуру перевода с языка алгебры высказываний на язык теории L.
Выводы в исчислении высказываний.
Вывод в теории L формулы
Ф из множества формул Г – это конечная
последовательность формул
,
в которой каждая формула является: а)
аксиомой теории L, либо
б) принадлежит множеству Г (является
гипотезой), либо в) получена из предыдущих
членов этой последовательности по
правилу modus ponens,
а последняя формула этой последовательности
совпадает с Ф.
Если существует вывод формулы Ф из
множества формул Г, то говорят, что Ф
выводима из Г и пишут
.
Если множество Г пустое, то Ф называется
просто выводимой и обозначается
.
Если
,
то Ф называется теоремой теории
L.
Понятие вывода разъясним на примерах.
Пример. Лемма1. Для любой
.
В (А2) заменим на
,
а Х на Ф, получим
(по А2).
В (А1) подставим вместо
(по А1).
Из и по правилу modus ponens имеем
( из
и
по МР).
В (А1) положим
,
тогда
(по А1).
Из
и
по правилу modus ponens
получаем
( из
и
по МР).
- доказываемая формула.
Теорема о дедукции (ТД). Если Г
– некоторое множество формул, Ф и
-
формулы, причем
,
то
.
Эта теорема часто очень полезна для доказательства многих утверждений о выводимости других утверждений. Доказывается она индукцией по длине вывода . Доказательство смотри в [2].
Замечание. Если формула
совпадает с Ф, то формула
принимает вид
,
выводимость которой доказана в лемме
1, и доказывает справедливость теоремы
в этом случае.
В качестве примера применения теоремы
о дедукции приведем доказательство
следующего утверждения:
.
1.
- гипотеза.
2.
- гипотеза.
3.
- гипотеза.
4.
- из
и
по МР.
5.
- из
и
по МР.
Итак,
.
Отсюда по теореме о дедукции
.
Другие примеры применения теоремы о дедукции можно найти в доказательствах леммы 2 теории L: (см. [2], с. 41-43).
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
.
Контрольные вопросы и упражнения
Проверить, что схемы аксиом А1, А2, А3 порождают тождественно истинные формулы.
Почему
?Пусть
и
.
Что можно сказать о формуле Ф?Показать, что в любом выводе любой член является выводимой формулой.
Какими способами из данного вывода формулы Ф можно получить новый вывод этой же формулы?
Являются ли выводами следующие последовательности:
а)
;
б)
;
в)
.
В приведенном выводе формулы указать, на основании чего та или иная формула включена в вывод.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д) .
Построить выводы (не пользуясь теоремой о дедукции):
а)
;
б)
;
в)
.
Показать, что любая конечная последовательность формул является выводом ее последней формулы из соответствующего множества гипотез.
Доказать, что если для некоторой формулы Ф справедливы утверждения
и
,
то
,
где
– любая формула.Доказать, что если схему аксиом А3 заменить схемой
,
то класс выводимых формул от этого не
изменится.В данных доказательствах указать, на основании чего включена та или иная формула (доказательства не являются в данном случае полными выводами):
а)
б)
Доказать, что не все формулы выводимы.
Доказать, что не будет полным исчисление высказываний, полученного из данного путем удаления схемы аксиом А2, А3.