3.2. Применение к переключательным схемам
Как известно, цепи с двухполюсными переключателями (при одном состоянии переключателя ток через него проходит, а при другом - нет), соответствует пропозициональная формула, выражающая условие, при котором ток проходит через цепь. При этом последовательному соединению переключателей соответствует операция конъюнкции, параллельному – дизъюнкции. Буквам А и соответствуют переключатели, обладающие тем свойством, что если один из них пропускает ток, то другой в это время размыкает цепь, и наоборот.
Пример 1. Схема
соответствует формуле
.
Схемы, которым соответствуют равносильные формулы, обладают одинаковыми переключательными свойствами.
Укажем метод (Квайна), позволяющий для
формулы
,
заданной в СДНФ, найти равносильную в
ДНФ и содержащую наименьшее число знаков
.
Производят сокращения дизъюнктивных
членов формулы Ф согласно правилу:
.
Причем, один член может участвовать в
сокращении несколько раз.
Дизъюнктивные члены, не допускающие сокращения, называются простыми импликантами ранга n. С членами, полученными после первого сокращения, проводим повторно сокращения, а не допускающие сокращения члены назовем простыми импликантами ранга n–1, и т.д.
Дизъюнкция всех простых импликант, очевидно, равносильна исходной формуле Ф. Некоторые простые импликанты могут быть отброшены без нарушения равносильности (что может быть выполнено, в общем случае, несколькими способами). Получим формулы, для которых отбрасывание простых импликант уже нарушает равносильность. Такие формулы называются тупиковыми. Искомая формула ищется среди тупиковых простым подсчетом количества знаков , входящих в тупиковые формулы.
Пример 2. Цепи
отвечает пропозициональная формула
,
которая равносильна
При получении этой цепочки эквивалентных формул использовалась теорема об эквивалентной замене и некоторые логические законы.
Таким образом, рассматриваемая цепь эквивалентна более простой цепи
Напомним, что две цепи называются эквивалентными, если через одну из них ток идет тогда и только тогда, когда он идет через другую. Из двух цепей та считается более простой, которая содержит меньшее число переключателей.
Пример 3. Требуется, чтобы включение света в комнате осуществлялось с помощью трех различных переключателей таким образом, чтобы нажатие на любой из них приводило к включению света, если он перед этим был выключен, и к его выключению, если он был включен. Построить простую цепь, удовлетворяющую этому заданию.
А |
В |
С |
|
и |
и |
и |
1 |
и |
и |
л |
0 |
и |
л |
и |
0 |
и |
л |
л |
0 |
л |
и |
и |
1 |
л |
и |
л |
1 |
л |
л |
и |
1 |
л |
л |
л |
0 |
.
Цепь, удовлетворяющая условиям задачи
или
Итак, применение алгебры высказываний к переключательным цепям приводит к двум задачам:
описание цепи с помощью формул алгебры высказываний или задание условий, которым должно удовлетворять проектируемое устройство, на основании которых строится формула;
эквивалентными преобразованиями полученной формулы минимизировать ее (т.е. сделать минимальным число использованных операций дизъюнкций и конъюнкций) с тем, чтобы получить оптимальную схему устройства.
Контрольные вопросы и упражнения
Какими переключательными свойствами обладает схема, соответствующая тавтологии; тождественно ложной формуле?
Доказать, что
.Почему дизъюнкция всех простых импликант равносильна исходной формуле?
Построить переключательные схемы, соответствующие следующим формулам алгебры высказываний:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Для данной схемы написать соответствующую формулу алгебры высказываний:
а)
б)
Построить схему голосования для комитета из 4 членов (один из них - председатель). Решение принимается прямым большинством. В случае равенства голосов вопрос решает председатель.
Построить переключательную схему их трех выключателей так, чтобы любым из них можно было бы выключить лампочку, если она горит, и включить ее, если она не горит.
Минимизировать формулы по методу Квайна:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.