Производная по направлению. Градиент
Скалярным полем называется часть пространства (или все пространство), каждой точке, которой соответствует численное значение некоторой скалярной величины.
Примеры
Тело, имеющее в каждой точке определенное значение температуры – скалярное поле.
Неоднородное тело, каждой точке которой соответствует определенная плотность – скалярное поле плотности.
Во
всех этих случаях скалярная величина
U
не зависит от времени, а зависит от
положения (координат) точки М в
пространстве, то есть
- это функция трех переменных, она
называется функцией
поля. И
обратно, всякая функция трех переменных
u=f(x,
y,
z)
задает некоторое скалярное поле.
Функция плоского скалярного поля зависит от двух переменных z=f(x, y).
Рассмотрим скалярное поле u=f(x, y, z).
Вектор, координатами которого являются частные производные функции, вычисленные в заданной точке, называется градиентом функции в этой точке или градиентом скалярного поля.
или
.
Рассмотрим
некоторый вектор
и на нем две точки M0(x0,
y0,
z0)
и
.
Найдем приращение функции в направлении
:
.
Производной по направлению называется следующий предел, если он существует:
.
где
- направляющие косинусы вектора
;
α, β, γ - углы, которые образует вектор
с осями координат, если
.
Для функции двух переменных эти формулы принимают вид:
или
,
так
как
.
Между градиентом и производной по направлению в одной и той же точке существует связь.
Теорема. Скалярное произведение градиента функции на вектор некоторого направления равно производной данной функции в направлении этого вектора:
.
Следствие.
Производная
по направлению имеет наибольшее значение,
если это направление совпадает с
направлением градиента (обосновать
самостоятельно, используя определение
скалярного произведения и считая, что
).
Выводы:
Градиент – это вектор, показывающий направление наибольшего возрастания функции в данной точке и имеющий модуль, численно равный скорости этого возрастания:
.
Производная по направлению – это скорость изменения функции в направлении : если
,
то функция в этом направлении возрастает,
если
,
то функция убывает.Если вектор совпадает с одним из векторов
,
то производная по направлению этого
вектора совпадает с соответствующей
частной производной.
Например,
если
,
тогда
.
Пример
Даны
функция
,
точка А(1, 2)
и вектор
.
Найти:
1)
;
2)
.
Решение
Найдем частные производные функции и вычислим их в точке А.
,
.
Тогда
.
Найдем направляющие косинусы вектора :
.
Тогда
.
Ответ:
;
.
Литература [ 1,2]
Вопросы для самопроверки:
1.Что называется функцией двух переменных, ее областью определения?
2. Как определяются частные производные?
3. В чем состоит геометрический смысл частных производных?
4. Что называется градиентом скалярного поля в данной точке?
5. Что называется производной по направлению?
6. Сформулируйте правила нахождения экстремумов функции двух переменных.