Тема 4. Функции нескольких переменных

Понятие функции двух или более переменных. Область определения, пределы, непрерывность. Частные производные первого и высших порядков. Необходимое и достаточное условия экстремума функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных, производная по направлению, связь между ними.

На практике часто встречаемся с величинами, значения которых зависят от нескольких величин, изменяющихся независимо друг от друга. Рассмотрим простейший случай, когда таких независимых переменных две.

Пусть М – некоторое множество пар действительных чисел. Функцией двух переменных называется правило (закон), по которому каждой паре чисел ставится в соответствие единственное число , при условии, что каждое соответствует хотя бы одной паре .

x,y – независимые переменные;

М – область определения;

Z – область значений;

.

Так как каждой паре соответствует единственная точка P(x, y) и обратно, то функцию двух переменных можно рассматривать как функцию точки Р.

Если функция двух переменных задана с помощью аналитического выражения (формулы) без каких-либо дополнительных условий относительно области определения, то областью определения принято считать множество таких точек плоскости Оxy (пар ), для которых это аналитическое выражение имеет смысл и дает действительное значение функции.

Пример: функция определена для всех точек плоскости Оxy, кроме точек прямой x-y=0.

Частные производные

Рассмотрим функцию двух переменных . Зафиксируем одну из переменных, например, пусть . Тогда - функция одной переменной х.

- частное приращение функции по переменной х.

Аналогично, если зафиксируем х=х₀, то - частное приращение функции по переменной y.

Если существуют конечные пределы, то:

-

называется частной производной по х (или частной производной первого порядка);

-

называется частной производной по y.

Выводы:

1. Частная производная функции двух переменных по одному из ее аргументов равна пределу отношения частного приращения функции к вызвавшему это приращение приращению аргументу, когда приращение аргумента стремится к нулю.

2. Частные производные в точке (x_0, y₀) – это числа, зависящие от координат точки, в которой вычисляются, т.е. в общем случае это функции двух переменных.

3. Частная производная определяется как производная функции одной переменной (другую переменную фиксировали), поэтому для частных производных справедливы все правила и формулы дифференцирования функции одной переменной. Следует помнить, что при нахождении частной производной по какому-либо аргументу, все остальные аргументы считаются постоянными.

Примеры

1) ;

.

2) ;

.

Частные производные высших порядков

Частные производные первого порядка есть функции двух переменных и, в свою очередь, могут иметь частные производные.

Если существуют частные производные от частных производных по x и y, то их называют частными производными второго порядка и обозначают:

Частные производные, вычисленные по различным аргументам, называются смешанными.

Теорема. Если смешанные производные есть непрерывные функции, то они равны между собой:

.

Аналогично определяются производные третьего и более порядков.