Вариант 10
Задание №1 Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
а)
;
б)
;
в)
; г)
.
Задание №2 Исследовать функцию на непрерывность: найти точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график функции.
Задание №3
Дано комплексное число Z. Требуется: записать число Z в алгебраической и тригонометрической формах.
.
Задание №4. Найти производные первого порядка данных функций.
1)
y = 7x6
+ 2arccosx, 2) y = exctgx,
3) t =
,
4)
.
Задание №5. Исследовать методами дифференциального
исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить график.
.
Задание № 6.
Дана функция z=f(x,y). Проверить выполняется ли тождество F≡0 ?
.
Задание № 7.
Дана
функция
Z=3x2y3+5xy2,
точка
и вектор
.
Найти:
1) grad z в точке А;
2) производную в точке А по направлению вектора .
Содержание и оформление контрольной работы
Контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради. Следует указать свой шифр и номер варианта. Условие задачи должно быть полностью переписано перед ее решением.
Отмеченные рецензентом ошибки необходимо исправить в конце работы, сделав работу над ошибками.
Зачтенные контрольные работы предъявляются студентом при сдаче зачета или экзамена.
5 Вопросы для подготовки к зачету
Пределы
Способы задания функции. Виды функций.
Последовательность. Предел последовательности.
Предел функции, односторонние пределы.
Теоремы о единственности предела, об ограниченности функции, имеющей предел.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Замечательные пределы.
Непрерывность функций в точке. Точки разрыва.
Непрерывность функции на отрезке.
Дифференциальное исчисление
1. Определение производной.
2. Геометрический смысл производной.
3. Основные правила дифференцирования.
4. Производная сложной, обратной функций.
5. Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Теорема Коши. Их геометрический смысл.
6. Возрастание и убывание функции (необходимое и достаточное условия).
7. Экстремумы (необходимое и достаточное условия).
8. Точки перегиба (необходимое и достаточные условия).
Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба.
Правило Лопиталя.
Комплексные числа
1. Oпределение комплексного числа, его изображение.
2.Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел.
3.Действия над комплексными числами.
Функции нескольких переменных
1. Oпределение частных производных первого порядка функции двух переменных.
2. Производные высших порядков функции двух переменных.
3. Oпределение скалярного поля, градиента, производной по направлению.
4. Связь между производной по направлению и градиентом.
5. Необходимое и достаточное условия существования экстремума функции двух переменных.
6. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных в замкнутой области.
Список рекомендуемой литературы
Основная литература
1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1,2. М.: Наука, 2005 г
2. Шнейдер В. Е. Краткий курс высшей математики./Слуцкий И. А., Шумов А. С. - М.: Высшая школа, 2000 г.
Дополнительная литература
Игнатова А.В. Курс высшей математики. -М.: Высшая школа,1998г.
Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Харьков,2005г.
Справочная литература (задачники)
1.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. -М.: Наука, 2003г.