Тема 2. Комплексные числа. Понятие комплексного числа. Изображение комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая форма комплексного числа.

Комплексные числа - это числа вида а+bi, где а,b-действительные числа, -мнимая единица. а-действительная часть, b-коэффициент при мнимой части.

Действия над комплексными числами

1. Сложение- сложить действительные и мнимые части

Числа а +bi и а -bi называются сопряженными.

Сумма сопряженных комплексных чисел равна действительному числу 2а.

2. Вычитание.

3. Умножение.

Комплексные числа перемножаются как алгебраические двучлены, помня, что

Пример.

3. Деление.

На практике частное удобнее находить домножением числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.

Пример.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексное число а+bi можно изобразить на плоскости точкой М(а,b),рис.1.

y

O

r

b

M

a

x

Рисунок 1

Модулем комплексного числа называется длина вектора ОМ

Угол между осью абсцисс и

называется аргументом комплексного числа.

Каждое, не равное нулю, число имеет бесконечное множество аргументов, отличающихся на , - целое. Наименьшее по абсолютной величине значение аргумента называется главным.

тогда

.

а+bi – алгебраическая форма комплексного числа.

- тригонометрическая форма комплексного числа.

Пример.

Записать число в алгебраической и тригонометрической формах.

алгебраическая форма комплексного числа,

;

лежит в III четверти, или

или

.

Литература [1, 2]

Вопросы для самопроверки:

1.Что называется комплексным числом?

2. Как выполняются действия над комплексными числами?

3. Как изображаются комплексные числа?

Тема 3. Дифференциальное исчисление

Производная функции, ее геометрический, механический и химический смысл. Основные правила и формулы дифференцирования. Производная сложной, обратной функции. Производные высших порядков. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя. Условия монотонности функций. Необходимое и достаточное условия экстремума. Выпуклость и вогнутость, точки перегиба графика функции. Асимптоты. Общая схема исследования функции.

Производная

Производной функции y=f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции Δy в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента Δх при произвольном стремлении Δх к нулю, т.е.:

.

Выясним геометрический смысл производной.

Напомним, что касательная - есть прямая, занимающая предельное положение секущей.

, где -- угол наклона касательной к оси ОХ.

П

ри Δх →0, точка М→М₀, секущая приближается к своему предельному положению – к касательной, то есть

.

Тогда , т.е. производная в точке х₀ численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику кривой y=f(x) в точке с абсциссой х₀.

Для сложной функции справедливы формулы:

Примеры

1) ;

2) ;

;

3) ;

.