Пределы

1. Функция называется бесконечно малой при х→а , если .

2. Функция называется бесконечно большой при х→а, если она по модулю больше любого наперед заданного положительного числа.

Символическая запись:

.

3. Если f(x) – бесконечно большая функция при х→а, то - бесконечно малая функция при х→а.

4. Если f(x)≠0 – бесконечно малая функция при х→а, то - бесконечно большая функция при х→а.

Примеры

1) ;

2) ;

3) .

Неопределенность

Чтобы раскрыть неопределенность такого вида, надо числитель и знаменатель почленно разделить на неизвестное слагаемое в наивысшей степени.

Пример

.

Для контроля следует помнить:

1. если степени многочленов в числителе и знаменателе равны, то предел равен отношению старших коэффициентов (коэффициенты при высших степенях);

2) если степень многочлена в числителе выше степени знаменателя, то предел равен бесконечности;

3) если степень многочлена в числителе ниже степени знаменателя, то предел равен нулю.

Неопределенность

1) ,

где P(x), Q(x) – многочлены.

В этом случае надо числитель и знаменатель разделить на (х-а) один или несколько раз.

Пример

,

тогда 2x²-11x+5=2(x-x₁)(x-x₂)=2(x-5)(x-1/2).

тогда x²-7x+10=(x-5)(x-2);

2. если и есть иррациональность, то числитель и знаменатель надо домножить на сопряженную величину.

Пример

3) первый замечательный предел:

позволяет раскрывать неопределенность .

Следствия:

; ; .

Примеры

1. .

2. .

4) неопределенность можно раскрыть, использовав эквивалентные функции.

Бесконечно малые функции и называются эквивалентными, если .Обозначение эквивалентных бесконечных малых: ~ .

При нахождении предела отношения двух бесконечных малых можно каждую из них (или только одну) заменить другой бесконечно малой, ей эквивалентной, т.е. если ~ и ~ ,то

.

Если при ,то

~ ,

~ ,

~ ,

~ ,

~ ,

~ ,

~ ,

Пример

Найти .

Так как ~6x и ~2x при , то

= .

Неопределенность 1∞

Неопределенность такого вида раскрывается с помощью второго замечательного предела:

.

Пример

Непрерывность функции в точке

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х=х₀, если выполнены условия:

1. функция определена в точке х=х₀ и в некоторой окрестности, содержащей эту точку;

2) функция имеет предел в этой точке, т.е.

(существуют и равны между собой односторонние пределы);

3)предел функции равен значению функции в этой точке:

.

Если нарушается хотя бы одно из этих условий, тогда х₀ – точка разрыва функции.

Если оба односторонних предела существуют и являются конечными числами, но не выполнено третье условие, то х₀ – точка разрыва первого рода. Все остальные точки разрыва – второго рода.

Пример : Исследовать функцию на непрерывность: найти точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график функции.

На каждом из интервалов функция непрерывна. Остаётся проверить те точки, в которых функция меняет своё аналитическое выражение.

1)x=0

;

;

y(0)= .

Функция непрерывна в точке х=2

3. x=2

,

.

Предел слева не равен пределу справа, оба конечные числа. Поэтому х=2-точка разрыва первого рода.

y

1

-1 2 x

Литература [1, 2]

Вопросы для самопроверки:

1.Как связано понятие предела функции с односторонними пределами?

2.Какая функция называется бесконечно малой, каковы ее свойства?

3.Какая функция называется бесконечно большой, каковы ее свойства?

4.Какая функция называется непрерывной в точке?