5. Электрические цепи трехфазного синусоидального тока

Трехфазная система электрических токов (ЭДС, напряжений) представляет собой совокупность трех синусоидальных токов (ЭДС, напряжений) одинаковой частоты, сдвинутых по фазе друг относительно друга на угол 120˚. Если амплитуды токов (ЭДС, напряжений) во всех фазах одинаковы, то такую систему называют симметричной.

Часть трехфазной системы по элементам которой протекает один и тот же ток, называют фазой трехфазной системы. Различают фазы А , В и С. Термин фаза относится, также, к аргументу синуса.

Мгновенные значения токов фаз трехфазной симметричной системы записываются в виде:

i_A = I_msinωt;

i_B = I_msin(ωt-120˚); (31)

i_C = I_msin(ωt+120˚),

где I_m – амплитудное значение тока.

Аналогично записываются мгновенные значения ЭДС и напряжений. Комплексные действующие значения токов фаз имеют вид:

; ; . (32)

Трехфазный ток вырабатывают электрические генераторы, имеющие три одинаковые обмотки (фазы), начала и концы которых обозначают соответственно А , В, С и X, Y, Z.

Трехфазные нагрузки (приемники), также имеют три фазы, но значения и характер нагрузок отдельных фаз может быть разным.

Начала и концы трехфазных нагрузок обозначают a, b, c и x, y, z.

Если отдельные фазы генераторы и нагрузки соединены между собой, то такую систему называют связанной трехфазной системой, в которой фазы могут быть соединены в схему «звезда» и «треугольник».

Схема соединения «звезда».

Звезда-это такое соединение, когда концы обмоток (X,Y,Z и х ,у,z) соединены в узел, называемый нейтральной или нулевой (О и О′) точкой.

Если концы обмоток генератора и нагрузок объединить в нулевые точки, начала обмоток генератора А , В, С соединить линейными проводами с началом фаз нагрузок a, b, c, то такая схема носит название «звезда-звезда» (рис. 18).

Рис.18

Если в схеме «звезда-звезда» соединить нулевые точки О и О′ проводом, то получим схему «звезда-звезда с нулевым проводом» (рис.19).

Рис.19

Напряжение между началами и концами фаз генератора или между линейным и нулевым проводом называют фазным напряжением. Напряжение между двумя линейными проводами называют линейным. Токи, протекающие по линейным проводам, называют линейными и обозначают , , . Токи, протекающие в фазах, называют фазными. При соединении в схему «звезда» линейные токи равны соответствующим фазным токам : = .

Линейное напряжение определяется как разность векторов соответствующих фазных напряжений:

;

; (33)

.

Для симметричной системы напряжений

,

где U_Л и U_Ф – линейное и фазное напряжения.

В четырехпроводной цепи (схема «звезда-звезда с нулем») действующие значения токов в фазах приемников определяются по формулам:

; ; , (34)

где , - действующие комплексные значения фазных напряжений, В;

Z_A, Z_B, Z_C – полные сопротивления фаз приемников, Ом.

Ток в нулевом проводе , согласно первого закона Кирхгофа, равен сумме фазных токов:

. (35)

При симметричной системе напряжений и равномерной нагрузке (Z_A= Z_B =Z_C) ток в нулевом проводе равен нулю.

Схема соединения «треугольник».

Соединение обмоток генератора и нагрузки в схему «треугольник» показано на рис. 20.

Рис.20

Фазные напряжения на генераторе являются и линейными:

; ; . (36)

При соединении нагрузки в «треугольник» сопротивления Z_AВ, Z_BС, Z_CА располагаются между линейными проводами, поэтому линейные напряжения являются одновременно и фазными для нагрузки.

Положительные направления линейных и фазных токов показаны на рис.

Линейные токи определяются через фазные токи на основании первого закона Кирхгофа:

İ_А = İ_АB – İ_CA;

İ_B = İ_BC – İ_AB; (37)

İ_C = İ_CA – İ_BC,

где İ_А, İ_B, İ_C – линейные токи трехфазной цепи, А; İ_АB, İ_BC, İ_CA –токи в фазах, А.

Токи в фазах определяются через линейные напряжения:

; ; (38)

За начало отсчета, обычно, принимают вектор _AB, вектора _BС и _CA сдвинуты под углом 120˚ по отношению к _AB.

; ; (39)

При симметричной системе напряжений и равномерной нагрузке (Z_AВ=Z_BС =Z_CА), линейный ток больше фазного в .

Баланс мощностей в трехфазной цепи.

Как и в цепях однофазного тока, в цепях трехфазного тока должен выполняться баланс мощностей – равенство мощности, полученной от источника питания, мощности нагрузок.

Активная мощность всей цепи симметричной системы напряжений и равномерной нагрузке равна:

; (40)

Реактивная мощность:

(41)

Полная мощность:

, (42)

где φ – угол сдвига между током и напряжением.

При неравномерной нагрузке активная P, реактивная Q и полная S мощности равны сумме мощностей отдельных фаз:

; (43)

; (44)

. (45)

Мощности отдельных фаз определяются по формулам (24 ), (25 ), (26 ).

Формула полной мощности в комплексном виде записывается

. (46)

Пример 3

Для трехфазной цепи задано линейное напряжение U_Л= 120 В и сопротивления нагрузок Z_A= 2+j10; Z_B= 5-j7; Z_C= j8; Z_AB= 2+j10; Z_BC= 5-j7; Z_CA= j8. Изобразить схемы соединения генератора и нагрузки: «звезда-звезда с нулевым проводом», «звезда-треугольник». Определить фазные напряжения и токи, линейные токи, ток в нулевом проводе. Для схемы «звезда-треугольник» составить баланс мощностей.

Решение.

Схема «звезда-звезда с нулевым проводом» показана на рис.21.

Обмотки генератора и нагрузка находится под фазным напряжением:

.

Напряжение отдельных фаз запишем в показательной форме:

Фазные токи равны линейным и их значения составят:

Рис. 21

Ток в нулевом проводе:

İ_О = İ_A+ İ_B + İ_C= 1,334-j6,670+7,586+j2,607+5,007–j7,022=13,928–j11,085 (A)

Векторная диаграмма токов и напряжений показана на рис.22

Рис. 22

Схема «звезда-треугольник» показана на рис.23. Обмотки генератора находятся под фазным напряжением, а нагрузка – под линейным.

Определяем фазные токи нагрузки:

;

.

Рис. 23

Модули токов составят:

; (А).

Углы φ₁, φ₂, φ₃ равны:

Линейные токи в схемах определим по первому закону Кирхгофа:

İ_А = İ_АB – İ_CA=2,308–j11,538–j13,023–j7,443=-10,715-j18,981(A);

İ_B = İ_BC – İ_AB= 5,832-j12,672-2,308+j11,538=3,524-j1,134(A);

İ_C = İ_CA – İ_BC=13,023+j7,443-5,832+j12,672=7,19+j20,115(A).

Векторная диограмма токов и нвпряжений показана на рис.24.

Рис.24

Составим баланс мощностей. Полная комплексная мощность источника равна сумме мощностей каждой фазы:

.

Мощность фаз источника определяем по формуле:

,

где - комплекс фазного напряжения, сопряженный ток (меняется знак на противоположный в мнимой части числа).

Суммарная полная мощность источника составит:

=1237,243+j1820,387(В∙А),

где P_ист=1237,243 (Вт), Q_ист=1820,387 (вар).

Мощность нагрузки определяется, также, как сумма мощностей отдельных фаз. Полную мощность фаз можно определить по формуле:

_AB=I_AB² Z_AB=11,767²(2+j10)=276,925+ j1385(В∙А),

где I_AB- модуль фазного тока.

Аналогично определяются мощности других фаз нагрузки:

_BС=I_BС² Z_BС=13,952²(5-j7)=973,292-j13,63;

_СA=I_СA² Z_СA=15² j8=1800j.

Суммарная полная мощность нагрузки составит:

_наг = _AВ + _BС + _CА=1250,217+j1822(А).

Модули полных мощностей источника и нагрузки равны:

;

Погрешность расчета: