3. Линейные электрические цепи постоянного тока

Электрическая цепь - это совокупность соединенных друг с другом источников электрической энергии и нагрузок. Изображение электрической цепи с помощью условных обозначений называют электрической схемой.

Различают схемы с постоянным и переменным током. Постоянным током называют ток, неизменный во времени.

Зависимость тока, протекающего по сопротивлению, от напряжения на этом участке называют вольт-амперной характеристикой.

Сопротивления, вольтамперные характеристики которых являются прямыми линиями, называют линейными сопротивлениями, а электрические цепи только с линейными сопротивлениями – линейными электрическими цепями.

В качестве источника электрической энергии чаще всего рассматривается источник ЭДС, изображаемый окружностью со стрелкой, показывающей направление перемещения заряда ( рис.1). Нагрузка в цепях постоянного тока представляется активным сопротивлением (рис.2). Сопротивлением соедини-тельных проводов обычно пренебрегают.

Рис. 1 Рис. 2

В электрической цепи различают узлы, ветви и контуры. Ветвь - это участок электрической цепи, состоящий из последовательно соединенных элементов (источников энергии и нагрузок), по которым протекает один и тот же ток. Узел – это место соединения трех и более ветвей. Линии, связывающие ветви в схеме, представляют соединения без сопротивлений. Любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, называют контуром.

Под ЭДС понимается работа сротонних неэлектрических сил, направленная на перемещение единицы заряда от узла с меньшим потенциалом к узлу с большим потенциалом. Под напряжением на учестке цепи понимается разность потенциалов узла с большим потенциалом и узла с меньши потенциалом, т.е напрыжение источника питания по модулю разно его ЭДС, но имеет противоположное направление.

Основными законами для любой электрической цепи являются: закон Ома и законы Кирхгофа.

Закон Ома для участка цепи, не содержащего ЭДС, устанавливает связь между током и напряжением на этом участке

. (1)

Закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС Е, в общем случае, меет вид

. (2)

Все электрические цепи подчиняются первому и второму законам Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа распространяется на токи в ветвях схемы в рассматриваемом узле и имеет две формулировки.

Первая формулировка: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю (3).

Вторая формулировка: сумма токов подтекающих к узлу равна сумме токов оттекающих от узла: (4).

За положительное направление, обычно, принимается направление тока к узлу, а за отрицательное - от узла.

Второй закон Кирхгофа также имеет две формулировки.

Первая формултровка: алгебраическая сумма напряжений на ветвях в любом замкнутом контуре равна нулю (5).

Вторая формулировка: алгебраическая сумма ЭДС в любом контуре электрической цепи равна сумме падений напряжений на элементах этого контура: (6).

Число независимых уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, равно К_I = У - 1, где У – количество узлов в схеме.

Для составления уравнений по второму закону Кирхгофа рассматривают независимые контуры, т.е. такие у котрых имеется хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры. Количество уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, определяется по формуле: К_П = В – У +1, где В – количество ветвей в схеме.хгофа ектрической цепи равна сумме падений напряжений на элементах этого контура

0000000000000000000000000

Законы Кирхгофа позволяют определить токи в ветвях схемы, однако число уравнений резко возрастает для сложных схем. Количество уравнений можно сократить, применяя метод узловых потенциалов или метод контурных токов.

Метод узловых потенциалов.

Этот метод основан на применении первого закона Кирхгофа и закона Ома [1]. Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, составленных для схемы по первому закону Кирхгофа. Потенциал одного из узлов схемы принимается равным нулю ( например, φ₄ =0). Последовательно рассматриваются остальные узлы схемы, для которых записываются уравнения вида:

φ₁g₁₁ – φ₂g₁₂ – φ₃g₁₃ =

-φ₁g₂₁ + φ₂g₂₂ – φ₃g₂₃ = (7)

φ₁g₃₁ – φ₂g₃₂ +φ₃g₃₃ =

Левая часть уравнений составляется в следующем порядке: рассматривается потенциал узла 1 φ_1, множителем при котором является коэффициент g₁₁, равный проводимости всех ветвей, сходящихся в первом узле. Сомножителями потенциалов остальных узлов схемы являются g₁₂ и g₁₃ , взятые со знаком минус. Коэффициент g₁₂ равен сумме проводимостей всех ветвей, соединяющих узел 1 с узлом 2. Коэффициент g₁₃ равен сумме проводимостей ветвей, соединяющих узел 1 и 3. Аналогично составляются уравнеия для узлов 2 и 3, при этом g₂₂ и g₃₃ – сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узлах 2 и 3, а g₁₂ = g₂₁, g₁₃ = g₃₁ . Правая часть уравнений (7) равна алгебраической сумме произведений ЭДС в каждой ветви на проводимость ветви, присоединенной к рассматриваему узлу. Произведение записывается со знаком плюс, если ЭДС направлена к узлу, и со знаком минус, если ЭДС направлена от узла. Запись уравнений (7) в матричной форме имеет вид:

(8)

Решение системы линейных уравнений может быть выполнено методом Крамера:

φ₁ = φ₂ = φ₃ = , (9)

где ∆ - главный определитель матрицы проводимостей, ∆₁, ∆₂, ∆₃ -определители матриц, полученных путем последовательной заменены столбцов матрицы проводимостей столбцом свободных членов. Вычисление определителей можно выполнить, применяя математический пакет «Mathcad». Он также позволяет непосредственно решить систему уравнений (8), используя встроенную функцию lsolve.

Токи в ветвях схемы определяются по закону Ома. При этом предварительно задаются их положительным направлением.

Метод контурных токов.

Этот метод предполагает, что в каждом независимом контуре течет свой контурный ток, который обозначают двойным индексом, например I₁₁ – контурный ток первого контура. Число неизвестных при этом равно числу уравнений, которые необходимо было бы составить по второму закону Кирхгофа.

Для составления уравнений по методу контурных токов необходимо задаться направлением обхода контуров - по часовой или против часовой стрелки, но во всех контурах напрвление обхода должно быть одинаковое. Для схемы, содержащей два независимых контура, уравнения будут иметь вид

I₁₁ R₁₁ - I₂₂ R₁₂ =E_{11 ,} (10)

-I₂₁ R₂₁ + I₂₂ R₂₂ =E₂₂

где R₁₁ – полное или собственное сопротивление первого контура ( сумма сопротивлений , входящих в первый контур); R₁₂ – сопротивление смежной ветви между первым и вторым контурами, взятое со знаком минус;

E₁₁ - контурная ЭДС первого контура, равная алгебраической сумме ЭДС этого контура. Со знаком плюс принимаются ЭДС, направления которых совпадают с направлением обхода контура, и со знаком минус, если направления не совпадают с направлением обхода контура; R₂₂ – полное или собственное сопротивление второго контура; R₂₁ = R₁₂; E₂₂ - контурная ЭДС второго контура.

Матричная форма записи уравнений (10) имеет вид

. (11)

Решение системы уравнений (11) выполняется аналогично решению системы (8). Если в результате решения системы уравнений какой-либо контурный ток окажется отрицательным, то это будет означать, что в действительности направление контурного тока обратно принятому за положительное. Дальнейшие расчеты выполняют с учетом знака тока. В ветвях схемы, не являющихся смежными между соседними контурами, токи будут равны контурным токам со знаком плюс, если их направления совпадают с направлениями контурных токов, и со знаком минус, если направления противоположны. В смежшых ветвях токи определяются как сумма контурных токов, если их направления совпадают, и как разница контурных токов, если их направления противоположны.

Потенциальная диаграмма.

Расчет цепей постоянного тока сопровождается построением потенциальной диаграммы - графика распределения потенциалов вдоль какого-либо участка цепи или замкнутого контура. Потенциальная диаграмма дает наглядное представление о распределении потенциалов в схеме, позволяет проверить правильность выполненных расчетов и определить напряжение на участке электрической цепи.

По оси абсцисс откладываются сопротивления вдоль контура, начиная с любой произвольной точки, по оси ординат – потенциалы.

Для определения потенциалов в точках контура произвольно принимают потенциал одной из точек равным нулю. Потенциалы других точек определяют по закону Ома. Находят суммарное сопротивление контура. Выбирают масштабы по оси абсцисс (ось Х) и по оси ординат (ось У) и откладывают значения потенциалов точек в соответствии с сопротивлением контура.

Баланс мощностей.

В соответствии с законом сохранения энергии в любой электрической цепи должен выполняться баланс мощностей: мощность, генерируемая источниками, равна мощности потребляемой всеми приемниками.Уравнение баланса мощностей при питании только от источника ЭДС имеет вид

. (12)

Если направление тока I в ветви совпадает с направлением ЭДС, то произведение Е∙I входит в уравнение (12) со знакос плюс, в противном случае – со знаком минус.

Пример 1.

Для схемы, изображенной на рис. 3, выполнить следующее:

1. Составить системы уравнений по первому и второму законам Кирхгофа.

2. Составить уравнения методом узловых потенциалов и методом контурных токов.

3. Определить токи в ветвях схемы, решив уравнения, составленные в п.2.

4. Составить баланс мощностей.

5. Построить потенциальную диаграмму для контура, содержащего вольтметр.

6. Определить показания вольтметра.

Параметры элементов схемы:

Е₁ = 36 В; Е₂ = 10 В; Е₃ = 25 В; R₁ = 4 Ом; R₂ = 8 Ом; R₃ = 3 Ом; R₄ = 10 Ом;

R₅ = 2 Ом; R₆ = 7 Ом.

Решение

1. Составим уравнение по первому закону Кирхгофа. Количество независимых уравнений К_I = У - 1, где У – количество узлов в схеме.

В рассматриваемой схеме 4 узла, значит К_I = 3. Направления токов в ветвях схемы показано на рис.4.

узел 1: I₂ – I₃ + I₄= 0

узел 2: -I₄ + I₅ + I₆ = 0 . (13)

узел 3: -I₁ + I₃ - I₆ = 0

2. Составим уравнение по второму закону Кирхгофа. Количество уравнений определяется по формуле:

К_П = В – У +1, где В – количество ветвей в схеме.

Рис. 3

В рассматриваемой схеме 6 ветвей, четыре узла, тогда К_П = 6 – 4 + 1 = 3.

Обозначим контуры I, П, Ш . Примем обход контуров по часовой стрелке (рис.4) и для каждого контура запишем уравнения.

I контур: I₁R₁ + I₅ R₅ - I₆R₆ = E₁

П контур: I₂R₂ - I₄ R₄ – I₅R₅ = –E₂ (14)

Ш контур: I₃R₃ + I₄ R₄ + I₆R₆ = Е₃

3. Составим уравнения методом узловых потенциалов. Примем, что потенциал узла 0 равен нулю (φ ₀ = 0)

φ₁g₁₁ – φ₂g₁₂ – φ₃g₁₃ = – E₂g₂ – E₃g₃

-φ₁g₂₁ + φ₂g₂₂ – φ₃g₂₃ = 0 , (15)

φ₁g₃₁ – φ₂g₃₂ + φ₃g₃₃ = – E₁g₁+E₃g₃

где g₁₁ = g₂+ g₃ + g₄; g₁₂ = g₄; g₁₃ = g₃; g₂₂ = g₄ + g₅ + g₆; g₂₁ = g₁₂; g₂₃ = g₆;

g₃₃ = g₁ + g₃ + g₆; g₃₁ = g₁₃; g₃₂ = g_23;

g₁ =

g₃ =

g₅ =

g₁₁ = g₂+ g₃ + g₄ = 0,125 + 0,333 + 1 = 1,458 (См) ;

g₂₂ = g₄ + g₅ + g₆ = 1 + 0,5 + 0,143 = 1,643 (См);

g₃₃ = g₁ + g₃ + g₆ = 0,25 + 0,333 + 0,143 = 0,726 (См).

Подставим численные значения в систему уравнений (15):

φ₁ ٠1,458 - φ₂ ٠1 - φ₃٠ 0,333 = - 25 ٠0,333- 10 ٠ 0,125

-φ₁ ٠1 + φ₂ ٠1,643 - φ₃٠ 0,143 = 0

-φ₁ ٠0,333 - φ₂ ٠0,143 + φ₃٠ 0,726 = -36 ٠ 0,25+25∙0,333

Запишем систему уравнений в матричной форме:

x =

Применяя метод Крамера, определяем φ₁, φ₂, φ₃:

φ₁ = φ₂ = φ₃ = ,

где ∆ - главный определитель матрицы проводимостей, ∆₁, ∆₂, ∆₃ -определители матриц, полученных путем последовательной заменены столбцов матрицы проводимостей столбцом свободных членов.

Выполнив вычисления, получим:

φ₁ = - 16,563 (В); φ₂ = - 11,012 (В); φ₃ = - 10,696 (В).

Токи в ветвях схемы определим, применяя закон Ома. Для этого зададимся направлением токов в ветвях схемы (рис.4).

I₁ = (φ₃– φ₀ +E₁)g₁ = (-10,696 + 36)٠0,25 = 6,326 (А);

I₂ = (φ₀ – φ₁ - E₂)g₂ = (16,563- 10)٠0,125 = 0,820 (А);

I₃ = (φ₁ – φ₃ + E₃)g₃ = (-16,563 + 10,696 + 25)٠0,333 = 6,37 (А);

I₄ = (φ₂ – φ₁₎g₄ = (-11,012+16,563) ٠ 1 =5,551 (А);

I₅ = (φ₀ – φ₂)g₅ = 11,012٠0,5 = 5,506 (А);

I₆ = (φ₃ – φ₂)g₆ = (-10,696+11,012)∙0,143 = 0,045 (А).

Правильность выполненных решений можно проверить, применяя первый закон Кирхгофа.

Рис.4

4. Составим уравнения, используя метод контурных токов. Обозначим токи в контурах соответственно I₁₁, I₂₂, I₃₃. Примем направление контурных токов по часовой стрелке (рис.4).

I контур: I₁₁ (R₁ + R₅ + R₆) - I₂₂R₅ - I₃₃R₆ = E₁

П контур: -I₁₁R₅ + I₂₂ (R₂ + R₄ + R₅) - I₃₃R₄ = -E_{2 .} (16)

Ш контур: -I₁₁R₆ - I₂₂ R₄ + I₃₃ (R₃ + R₄ + R₆) = Е₃

Подставим численные значения в систему уравнений (16) и запишем уранения в матричной форме:

x =

Используя функцию «MATHCAD 11» lsolve (a,b), получим:

I₁₁ = 6,328 (А); I₂₂ = 0,821 (А); I₃₃ = 6,374 (А).

Токи в ветвях схемы определим через контурные токи:

I₁ = I₁₁ = 6,328 (А); I₂ =I₂₂ == 0,821 (А);

I₃ = I₃₃ = 6,374 (A); I₄ = I₃₃ – I₂₂ = 6,374 – 0,821 = 5,553 (A);

I₅ = I₁₁ – I₂₂ = 6,328 – 0,821 = 5,507 (A); I₆ = I₃₃ - I₁₁=

= 6,374- 6,328= 0,046 (A).

4. Баланс мощностей – это равенство суммарной мощности источников и суммарной мощности приемников электроэнергии.

Определим мощность источников питания:

P_ИСТ = E₁ ٠ I₁ - E₂٠I₂ + E₃٠I₃ = 36٠6,328 - 10٠0,821+25٠6,374 = 378,948 (Вт).

Мощность приемников энергии:

P_ПР = I₁² R ₁+ I₂² R₂ + I₃² R₃ + I₄² R₄ + I₅² R₅ + I₆² R₆ =

= 6,328² ٠4 +0,821² ٠ 8 + 6,374² ٠ 3 + 5,553² ٠1 + 5,507² ٠ 2 +

+ 0,046² ٠7 = 378,954 (Вт).

Как следует из расчетов, баланс мощностей выполняется.

4. Потенциальную диаграмму построим для контура 0, 2, 3, 4, 0 (рис. 5).

Примим потенциал узла 0 равным нулю: φ₀ = 0. Потенциалы других узлов определим по закону Ома:

φ₂ = φ₀ - I₅R₅ = -5,507∙2 =- 11,01 (В);

φ₃ = φ₂ + I₆ R ₆ =- 11,01 +0,046 ٠ 7 = - 10,688 (В);

φ₄= φ₃ +Е ₁ = - 10,688 +366,328 ∙ 4 = 25,312 (В);

φ₀= φ₄ - I₁R ₁ =25,312- 6,328∙ 4 = 0 (В).

Суммарное сопротивление рассматриваемого контура составит:

R = R₅ + R₆ + R₁ = 2 + 7 + 4 = 13 (Ом).

В масштабе по оси абсцисс откладываем сопротивление, а по оси ординат значение потенциалов в узлах контура.

Потенциальная диаграмма приведена на рис. 6.

4. Определим показания вольтметра как разность потенциалов узлов 5 и 4:

V₀₃ = φ₀ - φ₄₃= 0 – (-10,688) = 10,688 (В).

Рис.5

Рис. 6