§ 4.6. Робастная устойчивость

Различного рода погрешности в изготовлении деталей, ошибки измерительных приборов, износ деталей в процессе эксплуатации приводят к неопределённостям в значениях параметров линейных звеньев системы. Другим словами, значения таких параметров как постоянные времени , коэффициенты передачи или коэффициенты демпфирования (см. стр. 29), оказываются известными неточно. Фактически, всегда известно лишь, что значения этих параметров лежат в некоторых пределах: , , .

Подчеркнём, что сами коэффициенты , постоянные времени , коэффициенты демпфирования и другие параметры элементов системы являются постоянными, но их значения могут лежать в указанных интервалах. Это приводит к тому, что в отношении, например, коэффициентов характеристического полинома и других параметров различных моделей замкнутой системы управления известными оказываются лишь интервалы, в которых лежат их значения.

Другими словами, коэффициенты δ_i характеристического полинома

(4.27)

линейной системы с неопределённостями могут быть заданы соотношениями

или . (4.28)

Заданные таким способом коэффициенты δ_i называются интервальными, разность – интервалом, а полином (4.27), (4.28) – интервальным полиномом. Верхние и нижние значения рассчитываются по верхним , , и нижним , , значениям параметров , , методами интервальной математики. Обычно интервальный полином n-го порядка записывается следующим образом:

. (4.29)

В технических приложениях различные погрешности, неопределённости чаще всего характеризуются относительной погрешностью. Поэтому и коэффициенты характеристического полинома часто задаются своими расчетными значениями , найденными с некоторой относительной погрешностью %, т.е. . При таком задании коэффициентов δ_i их верхние и нижние значения определяются очевидными соотношениями:

, . (4.30)

В связи с этим в дальнейшем будем считать, что заданы верхние и нижние значения коэффициентов δ_i характеристического полинома (4.29) исследуемой системы управления.

Относительные погрешности % могут быть и одинаковыми для всех коэффициентов, т.е. , .

Определение. Динамическая система с характеристическим полиномом (4.29) обладает робастной устойчивостью, если она асимптотически устойчива в целом при любых значениях постоянных коэффициентов , из интервалов (4.28). ■

Для оценки робастной устойчивости линейных систем с интервальными параметрами обычно используется критерий, предложенный В.Л. Харитоновым. Этот критерий позволяет свести задачу исследования робастной устойчивости непрерывных линейных систем к задаче исследования гурвицевости некоторых полиномов. С этой целью сначала составляются четыре полинома Харитонова следующего вида:

,

,

,

. (4.31)

Все эти полиномы имеют степень, равную степени интервального полинома (4.29), а их коэффициенты равны граничным значениям интервальных коэффициентов этого полинома.

Критерий Харитонова. Линейная непрерывная система с интервальным характеристическим полиномом (4.29) является робастно устойчивой, если все четыре полинома Ха-

ритонова (4.31) являются гурвицевыми. ■

Таким образом, для исследования робастной устойчивости некоторой системы с интервальными параметрами , , необходимо найти интервальный характеристический полином этой системы в форме (4.29), затем составить четыре полинома Харитонова (4.31) и проверить, удовлетворяют ли они критерию Гурвица или Рауса?

Отметим, что если и , то система с полиномом (4.29) будет робастно устойчивой при

, где . (4.32)

Пример 12.3. Исследовать робастную устойчивость системы с характеристическим полиномом

.

Решение. Полиномы Харитонова в данном случае имеют вид

, ,

, .

Так как степени этих полиномов n = 3, то вместо критерия Гурвица можно воспользоваться критерием асимптотической устойчивости Вышнеградского.

Напомним, что в соответствии с критерием Вышнеградского полином третьей степени является гурвицевым, если все его коэффициенты больше нуля, и произведение его «средних» коэффициентов больше произведения «крайних» коэффициентов.

Применяя этот критерий к полиномам Харитонова в данном случае, найдем, что все они являются гурвицевыми. Следовательно, рассматриваемая система является робастно устойчивой. ■

Рассмотрим на конкретном примере задачу оценки робастной устойчивости системы 3-го порядка при задании относительной точности настройки её параметров.

Пример 12.4. Оценить робастную устойчивость системы с характеристическим полиномом

(4.33)

при 5% и 2% погрешности реализации его коэффициентов.

Решение. При точных (расчетных) значениях коэффициентов данная система, очевидно, является асимптотически устойчивой. Действительно, все коэффициенты полинома (4.33) больше нуля, а произведение его «средних» коэффициентов равно 186, что больше произведения «крайних» коэффициентов, равного 160. Поэтому в соответствии с критерием Вышнеградского система устойчива.

При реализации коэффициентов с погрешностью 5%, согласно (4.30), граничные значения интервалов равны:

, ,

, ,

, ,

, .

Следовательно, интервальный полином рассматриваемой системы в данном случае имеет вид

,

а соответствующие полиномы Харитонова

, ,

, .

В данном случае первый, второй и четвертый полиномы удовлетворяют критерию

Вышнеградского, а третий – не удовлетворяет, так как 2,85 58,9 = 167,865, а 8,4 21 = 176,4.

Таким образом, при реализации коэффициентов характеристического полинома (4.33) с погрешностью 5% рассматриваемая система не является робастно устойчивой.

При реализации коэффициентов с погрешностью 2% граничные значения интервалов равны:

, ,

, ,

, ,

, ,

а соответствующие полиномы Харитонова равны:

, ,

, .

При этом неравенства критерия Вышнеградского имеют вид: 185,93 > 159,94; 185,93 > 159,94; 178,63 > 166,46; 193,15 > 153,64. Таким образом, при реализации коэффициентов характеристического полинома (4.33) с погрешностью 2% все четыре полинома Харитонова удовлетворяют критерию Вышнеградского, т.е. при указанной, более точной реализации параметров рассматриваемая система является робастно устойчивой.

Отметим, что в данном случае в соответствии с неравенством (4.32) допустимая погрешность настройки . ■

В заключение параграфа заметим, что условия теоремы Харитонова при являются избыточными. Так в случае и для устойчивости достаточно положительности всех коэффициентов. В случае системы третьего порядка достаточно, чтобы гурвицевым был один (обычно третий) полином Харитонова; в случае систем четвёртого и пятого порядка достаточно, чтобы гурвицевыми были два и три полинома соответственно.

Г л а в а 5

КАЧЕСТВО СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ