§ 5.3. Показатели качества в установившемся режиме

Как видно на рис. 5.5, где показаны – моменты начала i-го режима работы системы автоматического управления, изменение режимов происходит достаточно редко по сравнению с длительностью переходных процессов.

Поэтому принято считать, что установившийся режим работы системы начинается с момента окончания переходного процесса t_p и продолжается до бесконечности, как показано на рис. 5.6. Такое предположение позволяет находить показатели качества системы в установив­шемся режиме на ос­нове вынужденного движения системы, ко­торое описывается частными решениями систем дифференциальных уравнений САУ.

Основным показателем качества САУ в установившемся режиме является её ошибка, которая в общем случае определяется выражением

, ( 5.5)

где – вынужденная составляющая управляемой переменной системы (т.е. частное решение дифференциального уравнения САУ, обусловленное некоторым воздействием); – желаемый закон изменения управляемой переменной системы под влиянием данного воздействия

В случае систем стабилизации, программного управления или следящих систем эталонная переменная , где g(t) – задающее воздействие. Тогда ошибка

. (5.6)

Другими словами, в тех случаях, когда , сигналом ошибки является отклонение или рассогласование системы управления с отрицательной единичной обратной связью. Именно поэтому отклонение часто называют ошибкой системы, хотя, как видно из (5.5), это не совсем точно.

Так как существенно зависит от вида входного воздействия , то ошибки САУ классифицируются в зависимости от вида воздействий.

Определение ошибки по возмущающему воздействию отличается тем, что в формуле (5.5) и всех последующих , т.е.

, (5.7)

где – вынужденная составляющая выходной величины, а – отклонение системы, обусловленное действием только возмущения .

Подчеркнем, что соотношения (5.5) – (5.7) определяют так называемые структурные ошибки системы, т.е. ошибки, которые определяются линейной структурой системы и видом воздействия. Помимо этих ошибок системы управления имеют ошибки, обусловленные различными нелинейностями своих элементов, таких как зоны нечувствительности, люфты и т.п.

Ошибки, определяемые выражениями (5.5) – (5.7), называются структурными, так как в первую очередь определяются именно структурой системы управления. Если воздействие имеет определенный (регулярный) тип, то, как будет показано ниже, выбором структуры системы эту ошибку практически всегда можно сделать равной нулю. Поэтому формально можно считать, что если структурная ошибка системы, вызванная некоторым воздействием определенной формы, не равна нулю, то структура системы является неудачной по отношению к данному воздействию.

Различают следующие структурные ошибки.

Статическая ошибка. В этом случае (часто полагают . Здесь – интенсивность задающего воздействия, постоянного по величине).

При можно записать: . Тогда, если , то согласно (5.6) статическая ошибка по задающему воздействию . Отношение иногда называется статизмом системы по задающему воздействию. Соответственно обратная величина называется добротностью системы управления.

В зависимости от значения статической ошибки системы управления делятся на статические системы ( ) и астатические системы ( ).

Замечание. Понятия статическая система, астатическая система, ошибка системы относятся не ко всей системе в целом, а к каждому отдельному воздействию, приложенному к системе, или к каждому отдельному её входу. Другими словами, система может быть статической по одному входу и астатической по другому.

Скоростная ошибка. В этом случае, например, задающее воздействие , поэтому скоростная ошибка по этому воздействию определяется выражением

.

Процесс отработки САУ линейного задающего воздействия и образование скоростной ошибки показаны на рис. 5.7.

Динамическая ошибка. Эта ошибка определяется по формулам (5.5), (5.6) или (5.7) при условии, что воздействие является полиномиальной функцией некоторой степени, т.е., например, , где , или какой-либо другой функцией времени (но не периодической).

Пример 5.1. Для следящей системы найти показатели качества в переходном режиме, а также статическую ошибку по задающему воздействию при . Определить тип

системы по этому воздействию, если её передаточная функция

.

Решение. График переходной функции, построенный для заданной системы по формуле (2.8), приведен на рис. 5.2. В соответствии с выполненным на этом же рисунке построением рассматриваемая система имеет следующие показатели в переходном режиме: установившееся значение ; время регулирования с; перерегулирование ; число колебаний .

Так как система следящая, то , поэтому по приведенной выше формуле находим, что статическая ошибка по задающему воздействию равна нулю. Следовательно, рассматриваемая система по этому воздействию является астатической. ■

Ошибки по модулю и по фазе. Для оценки качества САУ в условиях колебательных воздействий применяются ошибка по модулю и ошибка по фазе.

Входной сигнал при этом считается гармоническим, например, . Его частота выбирается близкой к частотам колебаний реальных воздействий данной системы. В этом случае , причём амплитуда и фаза зависят от частоты , т.е. , . Сигнал ошибки в этом случае также является гармоническим, т.е.

, .

Поэтому здесь – ошибка по модулю, а – ошибка по фазе.

Для вычисления этих ошибок удобнее всего воспользоваться передаточными функциями по ошибке. Например,

.

Полагая здесь , будем иметь

.

Отсюда, в соответствии с определением ошибок по модулю и по фазе, вытекают формулы:

, , (5.8)

где – обозначение модуля функции (*).

Совершенно аналогично с использованием соответствующих передаточных функций определяются ошибки САУ, вызванные другими колебательными воздействиями.

Пример 5.2. Для системы, рассмотренной в примере 5.1, найти ошибки по модулю и по фазе, если .

Решение. Так как система следящая, то управляемая переменная , и , поэтому передаточная функция по ошибке

.

В соответствии с выражениями (5.8) положим в этом выражении и найдем его модуль и фазу:

,

где , при . Подставляя в эти равенства значение частоты входного воздействия , получим с помощью формул (5.8): , а рад.

Положительная ошибка по фазе свидетельствует о том, что выходная переменная системы в установившемся режиме имеет отрицательный сдвиг по фазе по отношению к входному воздействию. ■

Иногда на систему действуют и колебательные, и не колебательные воздействия. То-

гда для определения общей ошибки системы используют либо формулу

,

либо

,

где – ошибка, вызванная не колебательным воздействием.

Аналогично суммарная ошибка, вызванная одновременным действием задающего воздействия g и возмущения f, определяется по формуле

.

Среднеквадратическая ошибка. Когда система функционирует в условиях случайных воздействий, её точность оценивается по среднеквадратической ошибке .

В этом случае сигнал ошибки является случайным процессом и характеризуется средним значением , корреляционной функцией и дисперсией . Среднеквадратическая ошибка (СКО) определяется выражением

. (5.9)

Среднее значение относят к статической ошибке системы.

Поэтому полная структурная ошибка системы при наличии случайных воздействий определяется по формуле

, (5.10)

где – структурная неслучайная ошибка, вызванная регулярными составляющими задающего и возмущающих воздействий.

Все перечисленные выше показатели качества переходных процессов, а также ошибки систем управления называются прямыми показателями качества. Методы определения указанных выше ошибок систем управления рассматриваются ниже (кроме ошибок по модулю и по фазе).