§ 4.3. Алгебраические критерии устойчивости
Для проверки устойчивости линейных динамических систем типа (4.1), (4.2) с помощью алгебраических критериев, сначала следует найти характеристический полином, т.е. левую часть уравнения (4.8).
Замечание. В качестве характеристического полинома очень часто берется знаменатель передаточной функции системы в замкнутом состоянии. Подчеркнём, что полученные на основе такого полинома выводы об устойчивости системы справедливы только в том случае, когда исследуемая система является полной. В противном случае сделанные выводы могут оказаться неверными, так как в случае неполной системы указанный полином может отличаться от действительного характеристического полинома на некоторый множитель, имеющий не левые нули.
Далее, прежде чем применять алгебраические критерии, целесообразно проверить выполнение необходимого условия устойчивости (4.10). Если это условие не выполняется, то необходимо сразу делать вывод о не устойчивости исследуемой системы. Если же условие (4.10) выполняется, то для оценки устойчивости применяют либо критерий Гурвица, либо критерий Рауса.
Критерий
Гурвица.
Сначала по коэффициентам
уравнения (4.8) составляется матрица
Гурвица размерностью
следующим образом. На главной диагонали
выписываются коэффициенты полинома
(4.8), начиная с
.
Затем заполняются столбцы матрицы
Гурвица, причем вниз от диагонали
вписываются коэффициенты
с возрастающими индексами, а вверх –
коэффициенты
с убывающими индексами. Вместо недостающих
коэффициентов вписываются нули, как
показано ниже. В общем случае системы
n-го
порядка матрица Гурвица имеет вид
.
(4.11)
Далее выписываются и вычисляются определители Гурвица, как определители угловых блоков матрицы (4.11):
,
,
(4.12)
.
Отметим, что определитель
вычислять нет необходимости, поскольку
он всегда
равен
,
т.е. его знак определяется знаками
определителя
и коэффициента
.
Критерий устойчивости Гурвица.
Если все коэффициенты
характеристического уравнения (4.8) и
все определители Гурвица больше нуля,
т.е.
,
,
и
, 
,
(4.13)
то система с данным характеристическим уравнением асимптотически устойчива. Если хотя бы один определитель Гурвица не больше нуля, то рассматриваемая система неустойчива. ■
Отметим частные случаи, когда применение критериев Гурвица и Рауса значительно упрощается.
При
и
необходимые и достаточные условия этих
критериев совпадают с условием (4.10),
т.е. имеют вид:
При
,
,
.
При
,
,
,
.
При характеристический полином (4.8) и матрица Гурвица (4.11) имеют вид
,
.
При этом определители (4.12) равны:
,
,
.
Поэтому с учетом (4.10) из условий
вытекает неравенство
.
(4.14)
Это неравенство является известным
критерием Вышнеградского:
для устойчивости системы третьего
порядка необходимо и достаточно, чтобы
при положительных коэффициентах
произведение внутренних коэффициентов
было больше произведения крайних. ■
Таким образом, при , и применять критерии Гурвица или Рауса нет
необходимости. Для оценки устойчивости в этих случаях достаточно проверить выполни-
мость условия (4.10), а при ещё и условия (4.14).
Пример 4.2. Пусть характеристический полином
.
Проверить устойчивость системы.
Решение.
Условие (4.10) выполняется,
,
поэтому найдем определители Гурвица.
Матрица Гурвица в данном случае имеет
вид
.
При этом
;
;
.
Так как все , то рассматриваемая система устойчива. ■
Известно, что значение определителя всегда определяется разностью двух или более чисел, поэтому при проверке устойчивости систем иногда можно получить неверный результат из-за погрешности вычислений. В связи с этим при использовании вычислительных машин удобнее применять рассматриваемый ниже критерий Рауса.
Критерий Гурвица чаще используется для получения аналитических оценок свойства асимптотической устойчивости систем управления и определения значений неизвестных параметров системы, при которых она является устойчивой.
Пример 4.3. Найти значения K, при которых система, схема которой показана на рис. 4.11, устойчива.
Решение. Так как рассматриваемая система полная (последовательно соединенные звенья не имеют сокращающихся множителей), то для определения характеристического полинома воспользуемся правилом, согласно которому характеристический полином полной системы равен знаменателю какой-либо передаточной функции этой системы в замкнутом состоянии.
Передаточная функция рассматриваемой системы в разомкнутом состоянии, согласно рис. 4.11, равна
.
Так как обратная связь единичная и
отрицательная, то
,
т.е.
.
Таким образом, в данном случае
характеристический полином равен
.
Условия устойчивости по критерию
Вышнеградского:
по (4.10) и
по (4.14). Отсюда
.
Итак, система (рис. 4.11) устойчива, если
.
■
Определение. Значение параметра, при котором система оказывается на границе устойчивости, т.е. то, при котором один или несколько коэффициентов характеристического полинома или один или несколько определителей Гурвица равны нулю, а остальные положительны, называется критическим значением этого параметра. ■
Например, в рассмотренном примере 4.3
.
Критерий Рауса. Этот критерий также применяется, когда задан характеристический полином (4.8) системы и выполнено необходимое условие устойчивости (4.10). Здесь сначала составляется таблица Рауса следующим образом.
Таблица 4.1
В этой таблице
,
,
и так далее. Процесс заполнения табл.
4.1 продолжается до получения
строки. Затем применяется следующий
критерий.
Критерий устойчивости Рауса.
Если в (4.8) все
и все коэффициенты первого столбца
таблицы Рауса больше нуля, то система
с данным характеристическим полиномом
асимптотически устойчива. В противном
случае – система неустойчива. ■
Алгоритм Рауса является наиболее рациональным с вычислительной точки зрения и наиболее быстрым. Поэтому его целесообразно применять при исследовании устойчивости систем управления высокого порядка с численными значениями коэффициентов характеристического полинома как вручную, так и с помощью ЭВМ.
Пример 4.4. Характеристический полином системы имеет вид
.
Оценить устойчивость этой системы с помощью критерия Рауса.
Решение. Условие (4.10) выполняется, поэтому составим таблицу Рауса.
1 |
8 |
12 |
|
4 |
14 |
0 |
|
8 – 4×0,25 = 2,5 |
12 |
0 |
r1 = 0,25 |
14 – 12×0,9 = 3,33 |
0 |
0 |
r2 = 0,9 |
12 – 0×1,4 = 12 |
0 |
0 |
r3 = 1,4 |
Так как все коэффициенты первого столбца больше нуля, то исследуемая система асимптотически устойчива. ■