§ 4.4. Частотные критерии устойчивости

В основе критериев этого типа лежат частотные характеристики. Необходимые для исследования устойчивости частотные характеристики получаются из передаточной функции или характеристического полинома системы путем замены на .

При изменении частоты от до конец вектора, соответствующего той или иной частотной характеристике, «вычерчивает» на комплексной плоскости линию, которая назы-

вается годографом. Именно годографы используются в частотных критериях устойчивости.

Различают следующие частотные критерии:

- критерий Михайлова,

- критерий Найквиста (обычный и логарифмический).

Критерий Михайлова. В этом критерии используется годограф Михайлова, который соответствует комплексной функции , получаемой из характеристического полинома исследуемой системы:

, .

Критерий Михайлова. Пусть для некоторой системы построен годограф Михайлова . Тогда система будет устойчивой, если при изменении частоты от до выполняются следующие условия:

а) годограф начинается на вещественной, положительной полуоси;

б) годограф последовательно проходит n квадрантов, двигаясь против часовой стрелки при изменении от до , где n – порядок системы.

Если условия а) или б) нарушаются, то система является неустойчивой. ■

На рис. 4.12 приведены годографы Михайлова устойчивой системы (кривая 1, порядок системы равен 4) и неустойчивых систем (кривые 2, 3).

При этом в случае системы, соответствующей кривой 2, годограф системы начинается (при ) не на положительной вещественной полуоси. В случае же системы с годографом 3 нарушается последовательность обхода годографом Михайлова квадрантов комплексной плоскости. Эти факты и свидетельствуют о неустойчивости указанных систем управления.

Критерий Найквиста. Этот критерий используется для исследования устойчивости замкнутой системы с помощью годографа комплексного коэффициента передачи этой системы, но в разомкнутом состоянии, т.е. с помощью годографа Найквиста. Предварительно структурная схема системы должна быть приведена к виду, показанному на рис. 4.13, т.е. к виду с единичной, отрицательной обратной связью.

Обычно это приведение осуществляется либо методом последовательных преобразований, либо с помощью формулы Мэйсона. Однако наиболее корректным способом преобразования структурной схемы системы является, как показано в § 2.7, преобразование по уравнениям в переменных состояния её элементов.

Замечание. Критерий Найквиста может быть применен для исследования устойчивости либо полных, либо неполных систем, неполная часть которых является устойчивой. Другими словами, только тех систем, характеристический полином неполной части (см. стр. 77) которых удовлетворяет критерию Гурвица или критерию Рауса.

В противном случае заключение об устойчивости замкнутой системы на основе критерия Найквиста может быть неверным. ■

Критерий Найквиста применяется в двух формулировках. Первая относится к случаю, когда система в разомкнутом состоянии является устойчивой или нейтральной. Другими словами, когда знаменатель передаточной функции имеет только корни, расположенные в левой полуплоскости и, возможно, на мнимой оси.

В этом случае оценка устойчивости замкнутой системы с помощью критерия Найквиста состоит в следующем. По при (рис. 4.13) путем изменения частоты от нуля до строится на комплексной плоскости годограф Найквиста (рис. 4.14, кривые 1, 2, или 3), а затем применяется собственно критерий Найквиста.

Критерий Найквиста. Первая формулировка. Если система в разомкнутом состоянии устойчива или нейтральна, то она будет устойчивой в замкнутом состоянии, если годограф Найквиста не охватывает точку (–1). Если он её охватывает, то система неустойчива. Если он через неё проходит, то система находится на границе устойчивости. ■

Если при годограф Найквиста уходит в бесконечность, то для суждения об устойчивости необходимо сначала дополнить его до вещественной положительной полуоси дугой окружности достаточно большого радиуса в направлении против движения часовой стрелки. Для примера на рис. 4.14 приведены годографы устойчивой, неустойчивой и находящейся на границе устойчивости систем управления (рис. 4.13), дополненные, как указано, пунктирными линиями.

В тех случаях, когда система (рис. 4.13) в разомкнутом состоянии неустойчива, т.е. знаменатель передаточной функции имеет хотя бы один корень, расположенный в правой полуплоскости, применять приведённую выше первую формулировку критерия Найквиста нельзя. В этом случае необходимо использовать его формулировку для общего случая. В этой формулировке используется понятие положительных и отрицательных переходов годографа Найквиста через отрицательную действительную полуось (– ∞ , – 1].

Принято переход при возрастании частоты ω годографа Найквиста через отрицательную действительную полуось (– ∞, – 1] сверху вниз считать положительным, а переход снизу вверх – отрицательным. Например, на рис. 4.14 переход годографа 3 через полуось (– ∞ , – 1] является отрицательным.

Обозначим через l – число правых (с положительной вещественной частью) корней знаменателя передаточной функции , т.е. находящихся в правой полуплоскости. При этом если система в разомкнутом состоянии находится на границе устойчивости, то l = 0. Кроме того, в связи с применением ЭВМ для исследования САУ целесообразно рассматривать изменение частоты не от 0 до ∞ , а от – ∞ до + ∞ .

В общем случае критерий Найквиста формулируется следующим образом.

Критерий Найквиста. Общий случай. Для устойчивости замкнутой системы (рис. 4.13) необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты ω от – ∞ до + ∞ разность между числами положительных и отрицательных переходов годографа Найквиста через отрицательную действительную полуось (– ∞ , – 1] была равна l, т.е. числу правых корней знаменателя передаточной функции . В противном случае замкнутая система (рис. 4.13) является неустойчивой. ■

Для примера на рис. 4.15 приведён годограф Найквиста системы (рис. 4.13) c передаточной функцией

, (4.15)

где k₁ = 1, при изменении частоты ω от – ∞ до + ∞ . Эта система, очевидно, является неустойчивой в разомкнутой состоянии (имеется отрицательный коэффициент в знаменателе ) и неполной (имеются одинаковые множители в числителе и в знаменателе ).

Прежде всего отметим, что характеристический полином её неполной части равен р + 1, т.е. он удовлетворяет критерию Гурвица. Следовательно, для исследования устойчивости данной системы можно применить критерий Найквиста.

С помощью MATLAB легко установить, что полином третьей степени в знаменателе имеет два корня в правой полуплоскости: р₁ = 516,17 и р₂ = 2, т.е. в данном случае l = 2. На рис. 4.15 хорошо видно, что годограф Найквиста имеет два положительных и ни одного отрицательного перехода. Следовательно, в соответствии с общей формулировкой критерия Найквиста рассматриваемая система является устойчивой.

Для сравнения рассмотрим систему (рис. 4.13) с передаточной функцией в разомкнутом состоянии

, (4.16)

т.е. систему с неустойчивой неполной частью, полная часть которой аналогична полной части системы с передаточной функцией (4.15). Легко убедиться с помощью MATLAB, что годограф Найквиста системы с передаточной функцией (4.16) абсолютно идентичен годографу, приведённому на рис. 4.15.

Однако характеристический полином системы (рис. 4.13) с передаточной функцией (4.16), очевидно, имеет вид

и свидетельствует о её неустойчивости.

Приведённый пример также показывает, что с помощью критерия Найквиста нельзя корректно исследовать устойчивость неполных систем, устойчивость неполной части которых неизвестна. Отсюда следует также справедливость замечания, приведённого на стр. 90 .