§ 4.5. Области и запасы устойчивости

Если система имеет варьируемые параметры, то обычно она является устойчивой только при некоторых значениях этих параметров.

Определение. Область в пространстве некоторых параметров, в которой система устойчива, называется областью устойчивости данной системы. ■

Предположим, характеристическое уравнение некоторой системы имеет вид , и мы можем изменять произвольным образом значения и . Что представляет собой область устойчивости данной системы?

Отложим на координатных осях и . В результате получим плоскость параметров, показанную на рис. 4.16,а.

Так как система второго порядка устойчива при всех значениях коэффициентов и больших нуля, то областью устойчивости рассматриваемой системы является заштрихованный на рис. 4.16,а первый квадрант без точки 0 и без обеих осей.

Рассмотрим ещё один пример. Вышнеградский показал, что характеристическое уравнение системы третьего порядка можно записать в виде: . Это нормированное уравнение, так как коэффициенты при старшей и нулевой степени равны 1. В этом уравнении два параметра и .

Границы области устойчивости в пространстве параметров обычно ищут из условия обращения в нуль каких-либо определителей Гурвица или коэффициентов характеристического уравнения (при условии, что все остальные строго больше нуля).

Условия устойчивости нормированного полинома третьего порядка по критерию Гурвица, согласно (4.10) и (4.14), имеют вид: , , . Следовательно, равенство определяет границу области устойчивости систем третьего порядка. Эта область устойчивости приведена на рис. 4.16,б и заштрихована.

Область устойчивости может быть разделена на подобласти с определённым характером свободного движения исследуемой системы. Область устойчивости системы третьего порядка, на которой указаны границы подобластей с различным характером движения, называется диаграммой Вышнеградского.

Запасы устойчивости. Рассматриваемые обычно модели динамических систем чаще всего не учитывают влияния некоторых факторов, т.е. они являются приближёнными. Кроме того, с течением времени значения параметров элементов системы, как правило, изменяются. По этим и ряду других причин коэффициенты характеристического уравнения реальных систем управления оказываются известными неточно. Поэтому система будет сохранять работоспособность, несмотря на влияние указанных факторов, если она будет спроектирована с некоторым запасом устойчивости. Для этой цели, естественно, необходимо как-то оценивать запасы устойчивости динамических систем.

Степень устойчивости. Для оценки запаса устойчивости часто применяют показатель, который называется степенью устойчивости и обозначается η (рис. 4.17).

Определение. Степень устойчивости системы равна расстоянию от мнимой оси до ближайшего корня её характеристического уравнения, если все корни последнего расположены в левой полуплоскости. ■

Следовательно, если , – корни характеристического уравнения системы, то

. (4.17)

Для корректной оценки запасов устойчивости на основе степени устойчивости необходима количественная связь показателя η с параметрами системы K_i и T_i. Эта связь обычно находится с помощью критерия Гурвица, который позволяет оценить влияние отклонения коэффициентов от расчетных значений на степень устойчивости данной системы.

Пример 4.5. Сравнить степень устойчивости двух линейных систем управления с характеристическими полиномами и .

Решение. С помощью пакета MATLAB найдем, что в первом случае корни равны: , , а во втором – , а . Следовательно, в соответствии с определением (4.17), степень устойчивости первой системы больше. ■

Частотные оценки запаса устойчивости. Для оценки запаса устойчивости систем управления часто применяют годограф Найквиста. При оценке запаса устойчивости с помощью годографа Найквиста различают запас устойчивости по усилению (по амплитуде) и запас устойчивости по фазе.

Эти параметры определяются так. На комплексной плоскости с помощью строится годограф Найквиста некоторой устойчивой в замкнутом состоянии системы (см. рис. 4.13). Затем через точку (–1, j0) проводят окружность радиусом и с центром в начале координат (рис. 4.18).

Далее проводят луч из начала координат через точку пересечения этой окружности с годографом Найквиста. Соответствующая этой точке частота обозначается и называется частотой среза. Затем определяется частота как частота, на которой сдвиг по фазе равен , т.е.

. (4.18)

Частоту ω_π можно определить как частоту, на которой годограф Найквиста W_p (jω) пересекает вещественную отрицательную полуось (рис. 4.18). Тогда запас по усилению равен отрезку γ, т.е.

. (4.19)

Отметим, что если система имеет запас устойчивости по усилению γ, то при увеличении в раз её коэффициента усиления в разомкнутом состоянии она окажется на границе устойчивости. При этом допустимое увеличение коэффициента усиления определяется выражением

. (4.20)

Аналитически значение частоты среза ω_с определяется уравнением (см. рис. 4.18)

. (4.21)

При этом запас устойчивости по фазе определяется выражением

. (4.22)

Аналогично, если система имеет запас устойчивости по фазе , то при уменьшении её фазы на (это эквивалентно умножению её комплексного коэффициента передачи W_p(jω) на ), она окажется на границе устойчивости.

Отметим, что если система устойчива, то обычно < . На практике установлено, что для нормальной работы системы управления её запас устойчивости по фазе должен быть около 30 градусов, а запас по амплитуде – порядка 0,3.

Указанные оценки запасов устойчивости можно определить и по логарифмическим характеристикам системы в разомкнутом состоянии, как показано на рис. 4.19. Здесь – амплитудная характеристика двух систем управления, а и – их фазовые характеристики.

Как видно, первая система, имеющая фазовую характеристику , является неустойчивой, так как . В то же время вторая система, имеющая фазовую характеристику , является устойчивой, так как . При этом её запас устойчивости по фазе равен углу , показанному на рис. 4.20. Её запас устойчивости по усилению характеризуется длиной отрезка , который также показан на рис. 4.20. Численное значение запаса устойчивости по усилению вычисляется по формуле , где величина выражена в децибеллах.

Радиус запасов устойчивости. В последние годы для оценки запасов устойчивости линейных САУ применяется новая оценка, которая является обобщением понятий запасов устойчивости по усилению и по фазе. Эта оценка называется радиус запасов устойчивости и определяется следующим образом.

Определение. Радиусом запасов устойчивости линейной системы (рис. 4.13) с передаточной функцией в разомкнутом состоянии W_p(p) называется радиус r круга с центром в точке (– 1; j0), в который не «заходит» годограф Найквиста W_p(p) (рис. 4.14 или рис. 4.15) при изменении частоты от – ∞ до + ∞ .

Как видно на рис. 4.15, запас устойчивости по усилению γ связан с радиусом запасов устойчивости r неравенством

. (4.23)

а запас устойчивости по фазе – неравенством

. (4.24)

Следовательно, обеспечение определённого значения радиуса запасов устойчивости, гарантирует некоторые значения запасов устойчивости по усилению и по фазе.

При этом критический коэффициент увеличения усиления (4.20) удовлетворяет неравенству

. (4.25)

Отметим, что правая часть неравенства (4.24), а также левая и правая части неравенства (4.25), ввиду соотношения (4.20), являются оценками запасов устойчивости.

Пример 4.6. Определить радиус запасов устойчивости, а также оценки допустимых пределов изменения коэффициента k₁ и оценку запаса устойчивости по фазе системы (рис. 4.13) с передаточной функцией (4.15), годограф Найквиста которой приведёт на рис. 4.15.

Решение. По данному годографу находим r =0,324. Следовательно, по неравенству (4.24) имеем а по (4.25) – . В действительности запас устойчивости по фазе . ■

Отметим, что наличие здесь двух предельных значений для k₁ и Δφ объясняется тем, что в данном случае система теряет устойчивость как при увеличении k₁ и , так и при уменьшении их. Это с очевидностью вытекает из её годографа Найквиста, приведённого на рис. 4.15.

Основной смысл введения оценки – радиус запасов устойчивости заключается в том, что он позволяет достаточно просто оценить запасы устойчивости многомерных систем управления. В этом случае радиус запасов устойчивости r определяется выражением

, (4.26)

где r – максимально возможное (0 < r ≤ 1) число; . Здесь W_p( р) – передаточная матрица многомерной системы (рис. 4.13) в разомкнутом (по выходу объекта) состоянии.

На основе определения (4.26) разработаны аналитические методы синтеза многомерных робастных регуляторов, которые позволяют обеспечивать заданные значения радиуса запасов устойчивости проектируемых САУ (см. § 8.5).

Наличие у линейных систем рассмотренных выше запасов устойчивости достаточно для обеспечения их работоспособности лишь в тех случаях, когда параметры системы известны с небольшими погрешностями. Однако в ряде случаев погрешности в определении параметров линейных систем управления оказываются весьма значительными. Для анализа устойчивости линейных систем в этих случаях вводится понятие робастной устойчивости.