§ 4.1. Определение устойчивости

В физическом и математическом смысле понятие устойчивости относится к положению равновесия какой-либо системы.

Интуитивное представление об устойчивости можно пояснить рис. 4.1 – 4.3, где показаны системы, каждая из которых представляет собой шарик на некоторой поверхности. Прежде всего, отметим, что положение равновесия системы, это такое её состояние, в котором она может находиться без движения неограниченно долгое время (хотя бы теоретически!). Можно также сказать, что положение равновесия системы это такое её состояние, в котором скорости изменения всех её переменных равны нулю.

Если с помощью какого-либо воздействия вывести систему из положения равновесия, а затем убрать это воздействие, то система будет находиться в свободном состоянии и совершать свободное движение. Устойчивость рассматриваемого положения равновесия системы определяется характером именно этого свободного движения.

Если, как показано на рис. 4.1, шарик возвращается в положение равновесия после снятия силы f, то положение равновесия называется устойчивым. Соответственно и о системе говорят, что она устойчивая.

Если же, как на рис. 4.2, шарик после снятия силы f не возвращается к прежнему положению равновесия, а остается в новом состоянии, то такое положение равновесия называется безразличным, а соответствующая система – консервативной. В этом случае часто говорят: система находится на границе устойчивости.

Наконец, если шарик удаляется от прежнего положения равновесия после прекращения действия отклоняющей силы f, как показано на рис. 4.3, то положение равновесия и соответствующая система называются неустойчивыми.

На рис. 4.4 показана нелинейная система. Как видно, эта система может иметь несколько положений равновесия. При этом некоторые из них являются устойчивыми, а некоторые – неустойчивыми. Поэтому в нелинейном случае говорят об устойчивости не системы, а её конкретного положения равновесия.

Математическое понятие устойчивости связано с некоторым невозмущенным движением, частным случаем которого может быть и положение равновесия. Определяется понятие устойчивости движения системы следующим образом.

Пусть уравнения системы имеют вид

, (4.1)

. (4.2)

В этой системе все переменные описывают отклонения от значений соответствующих переменных в установившемся движении. Поэтому уравнение свободного движения данной системы имеет вид:

, (4.3)

. (4.4)

Положением равновесия этой системы, очевидно, является состояние . Свободное движение, которое используется для исследования устойчивости этого состояния, описывается решением системы уравнений (4.3), которое, как известно, имеет вид

, (4.5)

где – вектор начальных отклонений переменных состояния.

Определение. Динамическая система, описываемая уравнениями (4.1) и (4.2), называется асимптотически устойчивой, если при найдётся такое число , что выполняются условия

, , (4.6)

. ■ (4.7)

Другими словами, динамическая система (4.1) является устойчивой (асимптотически устойчивой), если её свободное движение ограничено по величине и асимптотически стремится к нулю с ростом времени t. Положение равновесия системы в этом случае также называется устойчивым (асимптотически устойчивым).

Если (4.6) выполняется, а (4.7) нет, то система находится на границе устойчивости. В частности, это относится к консервативным системам. С точки зрения теории управления такие системы являются неустойчивыми.

Свойство устойчивости является необходимым условием работоспособности любой линейной системы управления и многих нелинейных систем. Поэтому одной из основных задач при анализе свойств САУ является, прежде всего, корректное исследование свойства устойчивости, а при синтезе – обеспечение устойчивости с достаточным запасом.