§ 4.2. Признаки устойчивости линейных систем

Непосредственный метод исследования устойчивости линейных систем заключается в построении процесса во времени по формуле (4.5) и исследовании его характера.

Способы или правила определения свойства устойчивости системы без решения уравнения (4.3) называются критериями устойчивости.

Чаще всего для исследования устойчивости системы (4.1) используется её характеристическое уравнение

. (4.8)

Обозначим буквами его корни. Пусть среди его корней имеются: вещественный и комплексный . Тогда обязательно будет присутствовать и комплексно-сопряженный корень . В этом случае среди составляющих переменных состояния могут быть следующие моды:

, ,

где , и – некоторые постоянные, определяемые начальными значениями переменных состояния системы. Без ограничения общности можно считать, что и .

Зависимость составляющей от времени при различных значениях реальной части вещественных корней характеристического уравнения исследуемой системы показана: на рис. 4.5 при , на рис. 4.6 при и на рис. 4.7 при .

Аналогично зависимость от времени моды , соответствующей комплексным корням, приведена: на рис. 4.8 при , на рис. 4.9 при и на рис. 4.10,а при .

Нетрудно заметить, что условия устойчивости (4.6) и (4.7) выполняются только тогда, когда реальные части всех корней строго меньше нуля. Отсюда вытекает первый критерий устойчивости линейных динамических систем.

Критерий устойчивости по корням характеристического уравнения. Система (4.1) и (4.2) является асимптотически устойчивой, если вещественные части всех корней её характеристического полинома А(р) или, что то же самое, собственных чисел матрицы А строго отрицательны, т. е. если

, . ■ (4.9)

Если выполняется это условие, то корни находятся в левой полуплоскости комплексной плоскости (говорят – «корни левые»). Соответствующие условию (4.9) корни p₁, p₂ и p₃ показаны на рис. 4.10,б.

Полиномы А(р), нули которых удовлетворяют условию (4.9), называются гурвицевыми. Таким образом, если характеристический полином (4.8) некоторой системы является гурвицевым, то эта система является асимптотически устойчивой.

На практике чаще всего применяют критерии устойчивости, в которых используются либо коэффициенты характеристического уравнения (4.8), либо частотные характеристики. В связи с этим большое значение имеет необходимое условие устойчивости, связанное с коэффициентами характеристического уравнения (4.8) линейных систем: для асимптотической устойчивости системы (4.1), (4.2) необходимо, чтобы все коэффициенты уравнения (4.8) были положительными, т.е.

, . (4.10)

Подчеркнем, что поскольку условие (4.10) является необходимым, то, если хотя бы один из коэффициентов или , можно сразу утверждать, что соответствующая система (4.1), (4.2) является неустойчивой.

Пример 4.1. Оценить устойчивость системы, характеристическое уравнение (4.8) которой имеет вид

.

Решение. Коэффициент этого уравнения равен нулю, поэтому рассматриваемая система является неустойчивой. ■

Аналогично выводится заключение об устойчивости в случае систем более высокого порядка и при большем числе неположительных коэффициентов.