. (3.34)

Пусть матрица – диагональная, а – её собственные числа, причем и все они вещественные. При этом , где – некоторые постоянные. Если и (рис. 3.6,а), и , то, как показано на рис. 3.6,б, .

Из приведенных рисунков и выражения следует, что условие (3.31) выполняется, если только

, . (3.35)

При этом условии можно показать также, что время оценивания t_оц (см. рис. 3.5,а) удовлетворяет неравенству

, (3.36)

где , .

Если условие (3.35) выполняется и в общем случае, т.е. при комплексных и кратных собственных числах матрицы (3.33), то неравенства (3.31), (3.34) и (3.36) также будут выполняться.

Таким образом, для построения наблюдателя с заранее заданным временем оценивания необходимо вектор l в равенстве (3.30) выбрать так, чтобы собственные числа матрицы (3.33) были различными, имели отрицательные вещественные части, причём наименьший модуль

. (3.37)

Из уравнения (3.30) следует, что структура наблюдателя практически полностью совпадает со структурой объекта, состояние которого оценивается. Отличие заключается лишь в том, что в наблюдателе имеется дополнительная обратная связь по отклонению измеряемой переменной от её оценки. Глубина этой связи определяется именно вектором l, компоненты которого и определяют все свойства наблюдателя.

Наблюдатели состояния применяются в системах управления для формирования оценок тех переменных состояния , которые недоступны измерению. Этими оценками , как отмечалось выше, заменяются в управлении по состоянию соответствующие переменные. В этом случае устройство управления состоит из наблюдателя, формирующего оценки , и собственно управляющей части, формирующей управление по состоянию в соответствии с выражением . Важной особенностью таких устройств управления является то, что управление по состоянию и наблюдатель переменных состояния можно синтезировать независимо друг от друга.

§ 3.8. Синтез наблюдателя

В соответствии с изложенным выше наблюдатель описывается уравнением (3.30) и для его синтеза достаточно найти вектор l. Методика его определения зависит от формы заданных уравнений объекта управления.

Каноническая форма модели объекта. Пусть уравнения объекта (3.28, 3.29) записаны в канонической наблюдаемой форме (КНФ), т.е. в этих уравнениях

, . (3.38)

При этом матрицы B и H могут быть произвольными. Обозначим , тогда с учетом (3.38) имеем

.

Поэтому, подставляя в (3.33) матрицу А (3.38) и произведение , получим

. (3.39)

Далее сформируем желаемый полином наблюдателя

. (3.40)

Здесь , – желаемые полюсы наблюдателя, выбранные по условию (3.37), – соответствующие коэффициенты.

На основании (3.39) и (3.40) заключаем, для того чтобы наблюдатель (3.30) имел заданное время оценивания t_оц, необходимо выполнение условий . Отсюда следуют искомые расчетные соотношения

, , (3.41)

где – коэффициенты характеристического уравнения матрицы А (3.38) заданного объекта (3.28), (3.29), т.е. коэффициенты последнего столбца матрицы А (3.38), взятые с противоположным знаком.

Итак, если уравнения объекта (3.28), (3.29) имеют КНФ и вектор возмущений f доступен измерению, то наблюдатель состояния (3.30) можно построить всегда. При этом компоненты вектора обратных связей l определяются по (3.41).

Пример 3.10. Построить наблюдатель полного порядка для объекта управления

,

так, чтобы время оценивания переменных состояния не превышало полутора секунд.

Решение. Уравнения объекта заданы в канонической наблюдаемой форме. Поэтому

можно сразу записать , , . По формуле (3.37), имея в виду, что заданное

значение с, находим . Так как порядок системы , то задаёмся тремя различными корнями с учетом полученного условия: , , . Далее по формуле (3.40) находим , т.е. , , , а по формуле (3.41) получаем , , .

Подставляя заданные и найденные значения параметров в уравнение (3.30) при f = 0, получим уравнение наблюдателя

.

Нетрудно установить, например, с помощью системы MATLAB, что устройство, описываемое полученными уравнениями, формирует асимптотические оценки всех переменных состояния заданного объекта управления, т.е. является наблюдателем полного порядка для заданного объекта. ■

Общий случай. В общем случае, когда матрица А и вектор с^Т в (3.28), (3.29) имеют произвольную форму (не совпадающую с (3.38)), наблюдатель может быть построен, если только объект (3.28), (3.29) является полностью наблюдаемым, т.е. если только выполняется условие (3.17). В этом случае порядок определения вектора l из уравнения (3.30) следующий: 1. Определяется полином

(3.42)

и находятся коэффициенты , .

2. Строится матрица

. (3.43)

3. Вычисляется матрица и обратная к ней матрица .

4. Выбираются с помощью соотношения (3.37) корни характеристического уравнения наблюдателя , , и определяется полином и его коэффициенты , по формуле (3.40).

5. Вычисляются коэффициенты вспомогательного вектора по формулам, аналогичным (3.41): , .

6. Вычисляется вектор и записывается уравнение наблюдателя по (3.30).

Численный пример построения наблюдателя полного порядка для объекта, уравнения которого заданы не в канонической форме, рассмотрен ниже в примере 7.2 (С. 176).

Вектор оценок , формируемый наблюдателем, обычно используется, как отмечалось выше, в управлении по состоянию для замены вектора х на вектор в тех случаях, когда вектор х недоступен прямому измерению. В этом случае управление будет определяться выражением . При этом замкнутая система будет иметь порядок 2n (объект n-го порядка + наблюдатель n-го порядка), а корни её характеристического уравнения будут состоять из желаемых полюсов, заданных при построении управления (при выборе вектора k), и полюсов наблюдателя (назначенных при выборе вектора l ).

Вместо наблюдателя полного порядка (наблюдателя Калмана) можно использовать наблюдатели пониженного порядка (редуцированные наблюдатели – наблюдатели Луенбергера) [5]. Наблюдатель Луенбергера для объекта n-го порядка позволяет оценивать n – m переменных состояния, где m – число измеряемых (но независимых) выходных переменных объекта. Порядок редуцированного наблюдателя равен n – m, т.е. ниже порядка объекта. Поэтому сложность системы управления с редуцированным наблюдателем ниже, чем при использовании наблюдателя Калмана.

Г л а в а 4

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ