7. Формула полной вероятности.

Одним из эффективных методов подсчета вероятностей является формула полной вероятности, с помощью которой решается широкий круг задач.

Пусть в рассматриваемом опыте можно сделать исключающих друг друга (попарно несовместных) предположений (гипотез). Если событиеможет появиться только при одной из этих гипотез, то вероятность событиявычисляется по формуле полной вероятности:

Здесь - вероятность гипотезы,- условная вероятность событияпри этой гипотезе.

Задача.Группа студентов состоит из- отличников,- хорошо успевающих и- занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятность хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена наугад вызывается 1 студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку.

Решение:

Гипотезы: - вызван отличник;- вызван хороший студент;- вызван слабый студент.

Искомая вероятность будет равна:

8. Формула Байеса.

Любое исследование начинается с того, что существует некоторое априорное знание (предварительная информация). Затем ставится опыт, в результате которого получаем некоторую дополнительную информацию. Суммируя доопытную информацию и результаты эксперимента, получаем апостериорное знание.

АПРИОРНОЕ ЗНАНИЕ + РЕЗУЛЬТАТ ОПЫТА  АПОСТЕРИОРНОЕ ЗНАНИЕ.

Априорная вероятность характеризует предполагаемую возможность осуществ­ле­ния событиядо того, как проведен опыт. Объективный подход требует, чтобы эта пред­по­ла­гае­мая возможность основывалась на фактах. Апостериорная вероятностьхарактеризует возможность событияпосле того, как к априорному знанию добавлено знание, извлеченное из опыта.

Формула Байеса относится к той же ситуации, что и формула полной вероятности. Событие может наступить только вместе с одним из попарно несовместных событий,,....

Формула Байеса решает следующую задачу: пусть произведен опыт и в результате него наступило событие .Сам по себе этот факт еще не позволяет сказать какое из событий,,... имело место в проделанном опыте. Можно однакое поставить такую задачу, как найти вероятности,, ...каждой из гипотез (,,...) в предположении, что наступило событие .

Вывод формулы Байеса:

Приравнивая правые части, получим:

Откуда следует, что:

.

Или, если воспользоваться формулой полной вероятности и подставить ее в знаменатель вышеприведенной формулы, то окончательно формула Байеса будет выглядеть следующим образом:

.

Эту формулу легко запомнить: в знаменателе стоит выражение для полной вероятности события ,в числителеодно из слагаемых в этом выражении.

Формулы Байеса дают возможность «пересмотреть» вероятность гипотез с учетом наблюдав­ше­гося результата опыта.

Задача 1. При обследовании больного имеется подозрение на одно из двух заболеванийи. Их вероятности,. Дополнительно был проведен анализ, ре­зуль­­тат которого является положительным, или отрицательным (положительная или отрица­тель­ная реакция). В случае болезнивероятность положительной реакции равна 0,9, а отри­ца­тельной0,1. В случае болезниположительная и отрицательная реакции равновероятны (0,5). В результате анализа реакция оказалась отрицательной (событие ). Требуется найти ве­ро­ят­ность каждого заболевания после проделанных анализов (апостериорную).

Решение:

Отсюда видно, что полученные значения апостериорной вероятности позволяют предполагать болезнь .

9