Лекция 1.(Осень 2000 г.)

1. Тема «Основные понятия теории вероятностей» 1

1.1 Предмет теории вероятностей. 1

1.2 Краткая историческая справка. 2

1.3 Случайные события. 3

1.4 Два определения вероятности. 3

1.5 Пространство элементарных событий. Операции над случайными событиями. 4

1.6 Основные теоремы теории вероятностей. 5

1.6.1 Теорема сложения. 5

1.6.2 Условная вероятность. 5

1.6.3 Теорема умножения. 6

1.7 Формула полной вероятности. 7

1.8 Формула Байеса. 8

1. Тема «Основные понятия теории вероятностей»

   1. Предмет теории вероятностей.

Теория вероятностей есть раздел математики, изучающий закономерности в случайных явлениях.

Теория вероятностей выросла из потребностей практики и превратилась в строгую теорию, ис­поль­зуе­мую во многих областях естествознания, техники, экономики, биологии и медицины.

Что следует понимать под «случайным явлением» или «случайным событием». У каждого из нас есть уже представление о случайном событии на основании своего жизненного опыта. Примеров та­ких событий можно привести много. Выигрыш по лотерейному билету, непредусмотренная встре­ча со своим знакомым, число студентов на лекции, число пациентов на приеме у врача, ну и классический пример - выпадение орла при бросании монеты. Некоторые из этих событий являются неповторимыми в своей индивидуальности, они единичны, тогда как другие являются массовыми. Именно последние и будут интересовать нас более всего.

Возьмем многократное повторение одного и того же опыта, например, бросание монеты или иг­­ральной кости, обследование группы больных, изучение какого-то биологического признака на группе животных и т.д. Именно в таких ситуациях мы сталкиваемся с массовыми случай­ны­ми событиями, когда при повторении одного и того же опыта исследуемое случайное явление (событие) протекает всякий раз по иному.

Примеры таких случайных явлений:

1. Несколько раз точной измерительной линейкой измеряется длина одного и того же стола. Результаты измерений отличаются друг от друга. Причина различий кроется в наличии второстепенных факторов, сопровождающих проводимые измерения, а именно, положение линейки относительно стола, неидеальная обработка стола, ошибки экспериментатора и пр.

2. Измерение температуры у студентов одной возрастной группы. В данном опыте помимо неточности термометров и ошибок экспериментатора свою роль играет и фактор индивидуальности состояния здоровья каждого студента, даже если опыт и проводится при условии хорошего самочувствия студентов.

Итак, при изучении таких ситуаций, при многократном повторении одних и тех же опытов, только основныеусловия опыта могут оставаться неизменными, второстепенные же варьируют, носят случайный характер и посему вносят случайные различия в результаты опыта.

Ясно, что в природе нет ни одного явления, в котором бы ни присутствовали в большей или меньшей степени элементы случайности.

В точных науках существует так называемый модельный подход, когда учитываются лишь основные определяющие факторы, а второстепенные отбрасываются. То есть реальная ситуация заменяется упрощенной моделью. Составляются и решаются дифференциальные уравнения, описывающие исследуемый процесс. С учетом дополнительных факторов система диф­фе­рен­ци­аль­ных уравнений разрастается и усложняется. В итоге может случиться, что несмотря на все уси­лия, затраченные при формулировании и решении задачи, практической ценности в проведенной ра­боте нет, так как это решение относится только к какому-либо конкретному случаю в данных кон­кретных условиях, которые практически больше не повторяются. Необходим другой подход для учета основных и второстепенных факторов. Вот здесь-то и выходит на сцену ТЕОРИЯ ВЕ­РОЯТ­НОСТЕЙ, предметом изучения которой являются специфические закономерности, при­су­щие массовым случайным явлениям.

Например, если, не жалея сил и времени, много раз (100, 200, или даже 1000) подбросить мо­нету, то из общего числа бросаний число выпадений орла будет приближаться к половине. Та­ким образом выявляется устойчивость.

Другой пример. В некотором сосуде находится определенный объем газа. Поведение (тра­ек­тория движения) каждой отдельной молекулы случайно, зависит от множества случайных фак­то­ров (столкновений с другими молекулами и со стенками сосуда). Давление газа на стенки сосуда за­висит от числа ударов молекулы об эти стенки и следовательно тоже будет случайным. Но мы знаем, что это не так. В большой массе (а число молекул в сосуде очень велико) случайные осо­бен­ности, присущие движению каждой отдельной молекулы, нивелируются и мы имеем простую за­кономерность (газовые законы), справедливую для мас­сы случайных явлений. Подведем итог вы­­шесказанному. Методы теории вероят­ностей могут быть использованы только для ис­сле­до­ва­ния массовых случайных явлений. Исходотдельногослучайного событиянепредсказуем, новоз­можнопредсказать средний суммарный результат множества(массы) однородных слу­чай­ных явлений. И чем больше число исследуемых явлений, тем определеннее результат, отчетливее за­кономерность.