2. Условная вероятность.

При совместном рассмотрении двух случайных событий часто возникает вопрос насколько связаны эти события друг с другом, в какой мере наступление одного из них влияет на возможность наступления другого?

Пример. К экзамену студент выучил 20 билетов из 30. Какова вероятность того, что ему достанется невыученный билет?

Ответ:

Изменится ли вероятность, если раньше другой студент уже вытащил 1 билет из тех, что невыучен нашим студентом?

Ответ:

Для характеристики зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности.

Пусть - два случайных события по отношению к некоторому опыту. Причем,Числоназывают вероятностью событияпри условии, что наступило событие, или простоусловнойвероятностью события.

Обозначается условная вероятность следующим образом: .

Соотношение легко доказать. Пусть- полное число возможных исходов.

Событие происходитраз, частотная вероятность этого события равна.

Событие происходитраз, частотная вероятность этого события равна.

Совместно события ипроисходятраз, частотная вероятность этого события равна.

Проведем несложные преобразования.

.

Из случаев, в которых происходило событие, в относительной доле случаев, равной, происходит и событие. Тогдаесть вероятность событияпри условии, что произошло событие. Эта вероятность называется условной вероятностью события:.

3. Теорема умножения.

Произведениемдвух событийиназывается событие, состоящее в совместном появлении событийи.

Произведениемнескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Вероятность наступления в некотором опыте одновременно двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место.

.

Если же событие не зависит от события, то имеет место следующее равенство:

Следствие теоремы умножения. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

Задача.32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Наугад вынимаются 5 карточек одна за другой и укладываются на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что получится слово «КОНЕЦ».

Решение: .

Задача. Электрическая схема состоит изпоследовательносоединенных блоков. Надежность (вероятность безотказной работы) каждого блока равна соответственноСчитая выходы из строя различных блоков независимыми событиями, найти надежность схемы в целом.

Решение:Событие- исправная работа схемы в целом. Событие- исправная работа-того блока. Так как соединение последовательное, то схема работает только тогда, когда исправны все блоки. То есть.

Задача. Электрическая схема состоит из параллельносоединенных блоков. Надежность (вероятность безотказной работы) каждого блока равна соответственноСхема работает, если работает хотя бы один блок. Считая выходы из строя различных блоков независимыми событиями, найти надежность схемы в целом.

Решение:Пусть:

• событие исправная работа схемы в целом,

• событие исправная работы-того блока,

• событие неисправная работа схемы в целом,

• событие неисправная работа-того блока.

Определим вероятность неисправности схемы в целом :

Переходя к надежности всей схемы, получаем:

.