Лекция 4 (Осень 2000 г.)

5. Cтатистическая проверка гипотез. 32

5.1 Общая логическая схема статистического критерия. 32

5.2 Критерии отклонения распределения от нормального. 33

5.2.1 Коэффициент асимметрии. 33

5.2.2 Эксцесс. 33

5.3 Критерий соответствия хи-квадрат. 34

5.4 Критерий Фишера. 34

5.5 Критерий Стьюдента. 35

6. Непараметрические критерии. 37

6.1 Критерий Вилкоксона. 37

6.2 Критерий Манна-Уитни. 37

5. Cтатистическая проверка гипотез.

При различных статистических исследованиях возникает необходимость в формулировке и экспериментальной проверке некоторых предположительных утверждений (гипотез) от­но­си­тель­но природы или величины неизвестных параметров рассматриваемой совокупности. Можно срав­ни­вать, например, две выборочные совокупности, взятые из природной неизученной популяции, или задаться каким-либо распределением и сравнивать с ним имеющийся экспериментальный ма­те­риал. Высказывается некоторое предположение (гипотеза ), например, что различия между дву­­мя выборками нет. Тогда это будет нулевая гипотеза. Сущность ее сводится к тому, что мы предполагаем, что разница между генеральными параметрами сравниваемых групп равна нулю и что различия, наблюдаемые между выборочными характеристиками, носят не систематический, а исключительно случай­ный характер.

Пусть первая выборка извлечена из генеральной совокупности со своими зна­че­ния­ми­ , вторая, соответственно со своими.

Нулевая гипотеза записывается следующим образом:

Альтернативная гипотеза, противоположная нулевой выглядит следующим образом:

Для проверки принятой гипотезы, а следовательно и достоверности оценки генераль­ных пара­мет­ров по выборочным данным используют величины, функции распределения кото­рых из­вестны. Это статистические критерии достоверности. Они позволяют в каждом конкрет­ном случае вы­я­вить , удовлетворяют ли выборочные показатели принятой гипотезе.

Процедура обоснованного сопоставления высказанной гипотезы с имеющимися у иссле­до­­вателя экспериментальными выборочными данными осуществляется с помо­щью того или иного ста­тис­тического критерия и называется статистической проверкой гипотез.

Для определения степени достоверности различий, наблюдаемых между статистическими по­ка­за­телями, используются параметрические и непараметрические критерии. С помощью па­ра­мет­­ри­ческих критериев оцениваются различия, наблюдаемые между средними значения­ми , стан­дар­т­ными отклонениями и другими параметрами выборочных совокупностей, рас­пределяющихся по за­кону, близкому к нормальному. Непараметрические критерии могут быть использованы для оценки самых различных рас­пре­де­ле­ний, поскольку они основаны на непосредственном срав­не­нии варьирующих вели­чин, или их ос­нов­ных значений.

1. Общая логическая схема статистического критерия.

Не останаваливаясь на каком-то конкретном критерии, а их существует несколько в зави­си­мости от характера решаемых задач, рассмотрим логическую схему, по которой они строят­ся:

1. Выдвигается гипотеза

2. Задаются величиной уровня значимости Дело в том, что всякое статистическое решение неизбежно сопровождается некоторой, хотя может быть и малой, вероятностью ошибиться как в ту, так и в другую сторону. Например, в какой-то небольшой доле случаевмы отвергаем справедливую гипотезу, или наоборот, в какой-то доле случаевпринимаем оши­боч­ную гипотезу. Обычно пользуются стандартными значениями уровня значимости: 0,1; 0,05; 0,025; 0,01; 0,005; 0,001. Особенно распространенным является

3. Выбирают подходящий для рассматриваемой задачи критерий. Величина критерия определяет ме­ру расхождения имеющихся в нашем распоряжении выборочных данных с высказанной (и проверяемой) гипотезой

4. Вычисляется экспериментальное значение критерия для имеющихся выборочных данных, ко­то­рое сравнивается с табличным значением этого критерия для выбранного уровня значимости и соответствующего числа степеней свободы..

5. По результатам сравнения делаются выводы о правильности или ошибочности выдвинутой гипотезы.