1. Критерий Вилкоксона.

Непараметрический критерий для сравнения выборок с сопряженными вариантами. Учи­ты­вает величину разности двух сопряженных значений и знак этой разности. Каждой разности при­пи­сывается определенный ранг в зависимости от ее величины, причем знак разности не при­ни­ма­ет­ся во внимание на этом этапе. Чем больше разность, тем больше ее ранг. Если какие-либо раз­нос­ти равны нулю, то они просто отбрасываются, причем соответственно уменьшается . Если встре­чаются две равные по величине разности, то их ранги складываются и делятся пополам.Если ну­ле­вая гипотеза справедлива, то сумма рангов, отвечающих разностям одного знака, должна быть рав­на сумме рангов, отвечающих разностям другого знака. Из-за случайностей выборки могут наб­лю­даться отступления от этого равенства, но вероятность больших отступлений мала. Поэтому, если указанные две суммы рангов сильно различаются, то это может служить основанием для того, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу. Как правило, меньшей оказывается та сумма рангов, которая отвечает разностям со знаком, представленным в меньшем числе. Сравниваем меньшую сумму рангов с табличным значением критерия и отвергаем нулевую гипотезу в том случае, если экспериментальное значение критерия Вилкоксона меньше табличного.

Пример. Сравним две выборочные совокупности.

1-я выборка	2-я выборка	Разности	Ранги разностей	Т-критерий
52	31	31	8
39	22	17	6
43	45	-2	2	2
18	6	12	5
28	21	7	3
36	13	23	7
46	9	37	9
36	26	10	4
18	17	1	1

Из таблиц для=0,05 находимВыводы: так как, то нулевую гипотезу можно отвергнуть для данного уровня значимости.

2. Критерий Манна-Уитни.

Непараметрический критерий Манна-Уитни используется для сравнения выборочных со­во­­куп­нос­тей, которые могут быть разного объема и не быть сопряженными, как в случае -кри­те­рия Вилкоксона. Как и другие непараметрические критерии, используется в тех случаях, когда не­известно какому распределению подчиняются исследуемые случайные величины.

Если выборки разного объема, то принято объем меньшей выборки обозначать , а объем боль­шей выборки. Обе выборки объединяются в один ряд и ранжируются по возрастанию. От­дель­но считаются суммы рангов для каждой из выборок. Затем вычисляются критериии:

.

Достоверность различия между выборками определяется по таблицам для известных объемов выборки и для меньшего по величине значения (из двух вычисленныхи).

Пример. Измерена частота пульса у студентов 1 курса до выполнения физических упражнений и после. Выяснить, достоверно ли влияние физической нагрузки на изменение частоты пульса.

Фамилия	ЧСС (до нагрузки)	ЧСС (до нагрузки)
Иванов	66	85
Куликов	60	71
Снегов	70	80
Фролов	65	75
Николаев	72	88

После ранжировки полученных результатов имеем:

N		ЧСС (до нагрузки)	ЧСС (после нагрузки)
Куликов	1	60
Фролов	2	65
Иванов	3	66
Снегов	4	70
Куликов	5			71
Николаев	6	72
Фролов	7			75
Снегов	8			80
Иванов	9			85
Николаев	10			88

Выводы: так как соответствует табличной вероятности, то нулевую гипотезу можно отвергнуть, различие между выборками достоверно.

38