Лекция 5. (Осень 2000 г.)

7. Корреляционная зависимость. 39

7.1 Понятие о корреляционной зависимости. 39

7.2 Дисперсия суммы случайных величин. Корреляционный момент. 40

7.3 Теорема сложения дисперсий. 40

7.4 Коэффициент корреляции. 41

7.5 Оценка значимости коэффициента корреляции. 41

8. Измерение связи. Регрессия. 42

8.1 Понятие о регрессии. Уравнение регрессии. 42

8.2 Достоверность линии регрессии и коэффициентов регрессии. 42

8.3 Сравнение коэффициентов регрессии. 43

8.4 Криволинейные зависимости. 43

8.5 Коэффициент ранговой корреляции. 43

7. Корреляционная зависимость.

   1. Понятие о корреляционной зависимости.

Наиболее простым видом связи между величинами является функциональная зави­си­мость, когда какая-либо величина определяется как однозначная функция другой или нескольких дру­гих величин. С функциональной зависимостью часто встречаются в естествознании и технике (на­­пример, закон Ома, или , гдеС  длина окружности,R  радиус).

Но есть и такие связи, которые нельзя отнести к функциональным. Например, связь между ростом отцов и сыновей. Каждому значению одной величины соответствует множество значений другой величины. Случайный разброс этих возможных значений объясняется влиянием большого коли­чес­тво дополнительных факторов, от которых мы отвлекаемся, изучая связь между данными вели­чи­нами. Такие зависимости называются стохастическими или корреляционными. Они харак­те­ри­зуют­ся тем, что каждому значению любой из двух рассматриваемых величин соответствует опре­де­ленное распределение вероятностей другой величины.

Понятие корреляционной зависимости распространяется также на качественные показа­те­ли, если наличию одного показателя соответствует определенная вероятность наличия, или от­сут­ст­вия другого. Совокупность всех точек (опытных данных), иллюстрирующих характер зависи­мос­ти одной величины от другой, называется полем корреляции. Экспериментальные графики для ве­ли­чин , находящихся в корреляционной зависимости состоят из ряда точек, не укла­ды­ваю­щих­ся на какую-либо определенную кривую. Но некоторое общее представление о такой зави­си­мос­ти может дать линия, проходящая через средние значения величиныдля каждого. Эти сред­ние значенияназываются условными средними, в отличие от общего среднего значения, не зависящего от. С увеличением числа опытных точек внутри рассматриваемого интер­ва­ла измененияуказанная линия будет стремиться к некоторой предельной кривой соединяющей точ­ки условных математических ожиданий величины(условных средних). Эта предельная кри­вая называетсялинией регрессии, а соответствующая ей функция-функцией рег­рес­сии по.

Название «линия регрессии» в статистику было введено английским математиком Гальтоном. Термин «регрессия», означающий «движение назад», был позаимствован из биологии. Исследуя ста­тистические проблемы наследственности, Гальтон обнаружил возврат индивидуальных приз­на­ков внуков к средним показателям дедов и назвал этот показатель «регрессией».

Если поменять местами и, линия регрессии изменится.

Следовательно, в отличие от функциональной зависимости корреляционная зависимость между дву­мя величинами характеризуется двумя линиями регрессии.

В органической природе наблюдается сложное пересечение множества различных причин, взаим­ных влияний и их следствий, поэтому так часты в ней именно корреляционные, а не фун­к­цио­нальные зависимости. В настоящее время изучение различных корреляций является важным разделом многих биологических дисциплин, поэтому возникает потребность в ко­ли­чест­вен­ном измерении корреляции. Для этого служит ряд методов, наиболее рас­про­стра­нен­ным из которых является вычисление количественной характеристики связи, то есть коэффициента корреляции. Остановимся на этом вопросе подробно.