4. Два определения вероятности.

Сравнивая различные события (выпадение герба, выигрыш в лотерее), говорят, что одно событие более вероятно, чем другое.

В теории вероятностей понятие «вероятность» выступает как количественная мера возможности того, или иного события. Если испытание может привести к равновозможным различным исходам, ислучаям соответствует событие, аразне соответствует. Назовем благоприятстующими случаями, анеблагоприятствующими. Тогдавероятностью мож­но назвать отношение благоприятствующих случаев к общему числу равновозможных несовместных событий, образующих полную группу.

.

Это классическое определение вероятности (или комбинаторное). Дадим еще другое опреде­ле­ние (статистическое).

Статистическаяиличастотная вероятность.

Пусть случайное событие. Опыт проводится раз.

Событие наступаетраз. Величинаназывается частотой появления события.

Событие наступаетраз.

Событие наступаетраз.

и- частоты появления событийи. Для разных они могут заметно отли­чать­ся. При увеличении , при, частоты,,стабилизируются, прибли­жа­ют­ся к некоторому пределу, а именно к,,. Тогда можно дать следующее оп­ре­де­ление частотной вероятности.Вероятность случайного события - это связанное с данным событием постоянное число, около которого колеблется частота наступления этого события в длинных сериях опытов.

.

Вероятность достоверного события

Вероятность невозможного события

Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей

5. Пространство элементарных событий. Операции над случайными событиями.

Введем множество элементарных событий. Обозначим его . Для наглядности это множество изображают в виде некоторой области на плоскости, а элементарные событияточками в этой области. Тогда, пространствопредставляет все возможные исходы опыта.

Любое подмножество множестваназывается событием. Событиенаступает тогда, когда результатом опыта является одно из элементарных событий, входящих в(рис.1).

Суммой событийиназывается событие, состоящее из тех элементарных событий, которые входят либо в событие, либо в событие, либо в то и другое (рис.2). Произведением(или) событийиназывается событие состоящее из тех элементарных событий, которые входят в оба событияи(рис.3). Событиеназывается противоположным событию, если(рис.4).

События образуют полную группу событий, если

6. Основные теоремы теории вероятностей.

   1. Теорема сложения.

Суммой событий иназывается событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событийили. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Если события попарно несовместны, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей.

Следствие 1 теоремы сложения.

Как следствие получаем для противоположных событий, что сумма их вероятностей равна 1.

Следствие 2 теоремы сложения.

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

Задача.Известно, что при стрельбе в данных условиях вероятность попадания при выстреле равна 0,4. Чему равна вероятность промаха.

До сих пор мы рассматривали только несовместные события. Если же события имогут быть совместными, то соотношения изменятся.

,.

Тогда, .

Эта формула справедлива как для совместных, так и для несовместных событий.

Задача.Бросаются две монеты. Рассмотрим события:- выпадение герба на первой монете,- выпадение герба на второй монете. Найти вероятность события, если

Решение:

Можно решить через противоположные события.