1.5. Принятие решений с учетом неопределенностей

В большинстве теоретических задачах речь идет о постановках и методах решения задач, не содержащих неопределенностей. Однако, как правило, большинство реальных инженерных задач содержит в том или ином виде неопределенность. Можно даже утверждать, что решение задач с учетом разного вида неопределенностей является общим случаем, а принятие решений без их учета - частным. Однако, из-за концептуальных и методических трудностей в настоящее время не существует единого методологического подхода к решению таких задач. Тем не менее, накоплено достаточно большое число методов формализации постановки и принятия решений с учетом неопределенностей. При использовании этих методов следует иметь в виду, что все они носят рекомендательный характер, и выбор окончательного решения всегда остается за человеком (ЛПР).

Как уже указывалось, при решении конкретных задач с учетом неопределенностей инженер сталкивается с разными их типами. В исследовании операций принято различать три типа неопределенностей:

• неопределенность целей;

• неопределенность наших знаний об окружающей обстановке и действующих в данном явлении факторах (неопределенность природы);

• неопределенность действий активного или пассивного партнера или противника.

В приведенной выше классификации тип неопределенностей рассматривается с позиций того или иного элемента математической модели. Так, например, неопределенность целей отражается при постановке задачи на выборе либо отдельных критериев, либо всего вектора полезного эффекта.

С другой стороны, два другие типа неопределенностей влияют, в основном, на составление целевой функции уравнений ограничений и метода принятия решения. Конечно, приведенное выше утверждение является достаточно условным, как, впрочем, и любая классификация. Мы приводим его лишь с целью выделить еще некоторые особенности неопределенностей, которые надо иметь в виду в процессе принятия решений. Дело в том, что кроме рассмотренной выше классификации неопределенностей надо учитывать их тип (или "род") с точки зрения отношения к случайности. По этому признаку можно различать стохастическую (вероятностную) неопределенность, когда неизвестные факторы статистически устойчивы и поэтому представляют собой обычные объекты теории вероятностей - случайные величины (или случайные функции, события и т.д.). При этом должны быть известны или определены при постановке задачи все необходимые статистические характеристики (законы распределения и их параметры).

Примером таких задач могут быть, в частности, система технического обслуживания и ремонта любого вида техники, система организации рубок ухода и т.д.

Другим крайним случаем может быть неопределенность нестохастического вида (по выражению Е.С.Вентцель - "дурная неопределенность"), при которой никаких предположений о стохастической устойчивости не существует. Наконец, можно говорить о промежуточном типе неопределенности, когда решение принимается на основании каких-либо гипотез о законах распределения случайных величин. При этом ЛПР должен иметь в виду опасность несовпадения его результатов с реальными условиями. Эта опасность несовпадения формализуется с помощью коэффициентов риска.

Таким образом, неопределенность целей требует привлечения каких-либо гипотез, помогающих получению однозначных решений. В данном случае учет фактора неопределенности цели, как уже указывалось, приводит к необходимости рассмотрения другой проблемы, которая формулируется в виде проблемы принятия оптимальных многоцелевых решений.

Как указывалось выше, с точки зрения знаний об исходных данных в процессе принятия решений можно представить два крайних случая: определенность и неопределенность. В некоторых случаях неопределенность знаний является как бы "неполной" и дополняется некоторыми сведениями о действующих факторах, в частности, знанием законов распределения описывающих их случайных величин. Этот промежуточный случай соответствует ситуации риска. Принятие решений в условиях риска может быть основано на одном из следующих критериев:

• критерий ожидаемого значения;

• комбинации ожидаемого значения и дисперсии;

• известного предельного уровня;

• наиболее вероятного события в будущем.

Рассмотрим более подробно применение этих критериев.

Критерий ожидаемого значения (КОЗ).

Использование критерия ожидаемого значения обусловлено стремлением максимизировать ожидаемую прибыль (или минимизировать ожидаемые затраты). Использование ожидаемых величин предполагает возможность многократного решения одной и той же задачи, пока не будут получены достаточно точные расчётные формулы. Математически это выглядит так: пусть Х– случайная величина с математическим ожиданием MX и дисперсией DX. Если x₁, x₂, ..., x_n – значения случайной величины (с.в.) X, то среднее арифметическое их (выборочное среднее) значений имеет дисперсию . Таким образом, когда n® ¥, ® 0 и ® MX.

Другими словами при достаточно большом объёме выборки разница между средним арифметическим и математическим ожиданием стремится к нулю (так называемая предельная теорема теории вероятности). Следовательно, использование критерия ожидаемое значение справедливо только в случае, когда одно и тоже решение приходится применять достаточно большое число раз. Верно и обратное: ориентация на ожидания будет приводить к неверным результатам, для решений, которые приходится принимать небольшое число раз.

Пример 1. Требуется принять решение о том, когда необходимо проводить профилактический ремонт ПЭВМ, чтобы минимизировать потери из-за неисправности. В случае если ремонт будет производится слишком часто, затраты на обслуживание будут большими при малых потерях из-за случайных поломок.

Так как невозможно предсказать заранее, когда возникнет неисправность, необходимо найти вероятность того, что ПЭВМ выйдет из строя в период времени t. В этом и состоит элемент ”риска”.

Математически это выглядит так: ПЭВМ ремонтируется индивидуально, если она остановилась из-за поломки. Через T интервалов времени выполняется профилактический ремонт всех n ПЭВМ. Необходимо определить оптимальное значение Т, при котором минимизируются общие затраты на ремонт неисправных ПЭВМ и проведение профилактического ремонта в расчёте на один интервал времени.

Пусть р_t – вероятность выхода из строя одной ПЭВМ в момент t, а n_t – случайная величина, равная числу всех вышедших из строя ПЭВМ в тот же момент. Пусть далее С₁ – затраты на ремонт неисправной ПЭВМ и С₂ – затраты на профилактический ремонт одной машины.

Применение критерия ожидаемого значения в данном случае оправдано, если ПЭВМ работают в течение большого периода времени. При этом ожидаемые затраты на один интервал составят

ОЗ= ,

где M(n_t) – математическое ожидание числа вышедших из строя ПЭВМ в момент t. Так как n_t имеет биномиальное распределение с параметрами (n, p_t), то M(n_t) = np_t. Таким образом

ОЗ=

Необходимые условия оптимальности T^* имеют вид:

ОЗ(T^*-1)³ОЗ(T^*),

ОЗ(T^*+1)³ОЗ(T^*).

Следовательно, начиная с малого значения T, вычисляют ОЗ(T), пока не будут удовлетворены необходимые условия оптимальности.

Пусть С₁=100; С₂=10; n=50. Значения p_t имеют вид:

T	рt		ОЗ(Т)
1	0.05	0
2	0.07	0.05	375
3	0.10	0.12	366.7
4	0.13	0.22	400
5	0.18	0.35	450

T^*®3, ОЗ(Т^*)®366.7

Следовательно, профилактический ремонт необходимо делать через T^*=3 интервала времени.

Критерий ожидаемого значения можно модифицировать так, что его можно будет применить и для редко повторяющихся ситуаций.

Пусть х – случайная величина с дисперсией DX. Тогда среднее арифметическое имеет дисперсию , где n – число слагаемых в . Если DX уменьшается, то вероятность того, что близко к MX, увеличивается. Следовательно, целесообразно ввести критерий, в котором максимизация ожидаемого значения прибыли сочетается с минимизацией её дисперсии.

Пример 2. Применим критерий “ожидаемое значение – дисперсия” для примера 1. Для этого необходимо найти дисперсию затрат за один интервал времени, т.е. дисперсию

з_Т=

Т.к. n_t, t = – случайная величина, то з_Т также случайная величина. Случайная величина n_t имеет биномиальное распределение с M(n_t)=np_t и D(n_t)=np_t(1–p_t). Следовательно,

D(з_Т)=D( )= D( ) =

= = =n { – },

где С₂n=const.

Из примера 1 следует, что М(з_Т)=М(з(Т)). Следовательно, искомым критерием будет минимум выражения

М(з(Т))+кD(з_Т).

Замечание. Константу “к” можно рассматривать как уровень несклонности к риску, т.к. “к” определяет “степень возможности” дисперсии D(з_Т) по отношению к математическому ожиданию. Например, если предприниматель, особенно остро реагирует на большие отрицательные отклонения прибыли вниз от М(з(Т)), то он может выбрать “к” много больше 1. Это придаёт больший вес дисперсии и приводит к решению, уменьшающему вероятность больших потерь прибыли.

При к=1 получаем задачу

По данным из примера 1 можно составить следующую таблицу

Т	pt	pt2			М(з(Т))+D(з(Т))
1	0.05	0.0025	0	0	500.00
2	0.07	0.0049	0.05	0.0025	6312.50
3	0.10	0.0100	0.12	0.0074	6622.22
4	0.13	0.0169	0.22	0.0174	6731.25
5	0.18	0.0324	0.35	0.0343	6764.00

Из таблицы видно, что профилактический ремонт необходимо делать в течение каждого интервала Т^*=1.

Критерий предельного уровня не дает оптимального решения, максимизирующего, например, прибыль или минимизирующего затраты. Скорее он соответствует определению приемлемого способа действий.

Пример 3. Предположим, что величина спроса x в единицу времени (интенсивность спроса) на некоторый товар задаётся непрерывной функцией распределения f(x). Если запасы в начальный момент невелики, в дальнейшем возможен дефицит товара. В противном случае к концу рассматриваемого периода запасы нереализованного товара могут оказаться очень большими. В обоих случаях возможны потери.

Т.к. определить потери от дефицита очень трудно, ЛПР может установить необходимый уровень запасов таким образом, чтобы величина ожидаемого дефицита не превышала А₁ единиц, а величина ожидаемых излишков не превышала А₂ единиц. Иными словами, пусть I – искомый уровень запасов. Тогда

ожидаемый дефицит = ,

ожидаемые излишки = .

При произвольном выборе А₁ и А₂ указанные условия могут оказаться противоречивыми. В этом случае необходимо ослабить одно из ограничений, чтобы обеспечить допустимость.

Пусть, например,

Тогда

= = 20(ln + – 1)

= = 20(ln + – 1)

Применение критерия предельного уровня приводит к неравенствам

ln I – ³ ln 20 – – 1 = 1.996 –

ln I – ³ ln 10 – – 1 = 1.302 –

Предельные значения А₁ и А₂ должны быть выбраны так, что бы оба неравенства выполнялись хотя бы для одного значения I.

Например, если А₁ = 2 и А₂ = 4, неравенства принимают вид

ln I – ³ 1.896

ln I – ³ 1.102

Значение I должно находиться между 10 и 20, т.к. именно в этих пределах изменяется спрос. Из таблицы видно, что оба условия выполняются для I, из интервала (13,17)

I	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
ln I –	1.8	1.84	1.88	1.91	1.94	1.96	1.97	1.98	1.99	1.99	1.99
ln I –	1.3	1.29	1.28	1.26	1.24	1.21	1.17	1.13	1.09	1.04	0.99

Любое из этих значений удовлетворяет условиям задачи.