19.3. 2 X 2-6иматричные игры. Ситуация равновесия

Мы предполагаем уделить основное внимание случаю, когда у каж­дого из игроков имеется ровно две стратегии, т. е. случаю т = п = 2. Поэтому нам кажется уместным выписать приведенные выше фор­мулы именно для такого случая.

В 2 х 2-биматричной игре платежные матрицы игроков имеют сле­дующий вид:

вероятности

Pi = Р, р₂ = 1 - р, Ч\=Ч, q₂ = l-q,

а средние выигрыши вычисляются по формулам

На(р, Я) = a_npq + а₁₂р{1 - q) + а₂\{1 - p)q + а₂₂(1 ~ р)(1 - я), Нв{р, q) = bupq + Ъ₁₂р[1 -q) + М¹ - p)q + b₂₂(l - р)(1 - <?),

где

О <р < 1, 0 <q< 1.

Сформулируем основное определение. Определение. Будем говорить, что пара чисел

(p*,q^m), 0 < р* < 1, 0<₉*<1,

определяет равновесную ситуацию, если для любых р и д, подчи­ненных условиям 0^р^1,0^д^1, одновременно выполнены следующие неравенства:

Я_Л(р,_в-)<Нл(р',?-), H_B(_p-,q)^H_B(_P',q-). (1)

Пояснение. Выписанные неравенства (1) означают следующее: си­туация, определяемая смешанной стратегией (У",<?*), является рав­новесной, если отклонение от нее одного из игроков при условии, что другой сохраняет свой выбор, приводит к уменьшению выигрыша первого. Тем самым получается, что если равновесная ситуация су­ществует, то отклонение от нее невыгодно самому игроку.

Но может ли быть подобная ситуация равновесия в биматричной игре?

Ответ на поставленный вопрос дает следующее утверждение.

ТЕОРЕМА (Дж. Нэш). Всякая биматричная игра имеет хотя бы одну равновесную ситуацию (точку равновесия) в смешанных стра­тегиях.

Заметим, что весьма похожее утверждение мы уже встречали при изучении вопроса разрешимости матричных игр.

Напомним также, что в соответствующем разделе после форму­лировки аналогичного утверждения о существовании равновесной ситуации описывался и способ отыскания точки равновесия.

Та же проблема встает перед нами и здесь.

Итак, равновесная ситуация существует. Но как ее найти?

Если предполагается, что некоторая пара чисел (p*,q*) опреде­ляет ситуацию равновесия, то для того, чтобы подтвердить или опро­вергнуть это предположение, необходимо проверить справедливость неравенств (1) для любого р в пределах от 0 до 1 и для любого q в пределах от 0 до 1.

В общем случае число таких проверок бесконечно. И следователь­но, действенный способ определения равновесной ситуации должен быть иным.

Для его обоснования сошлемся на следующий теоретический ре­зультат.

ТЕОРЕМА. Выполнение неравенств

H_A(p,q*) < H_A(p*,q*), H_B{p%q) < H_B(p*,q*)

равносильно выполнению неравенств

H_A(0,q-) ^ H_A(p',q-), tf_B(p-,0) < H_B{p',q'), . ,

H_A(l,q-)^H_A(p',q-), H_B(p-,l)^H_B(p',q')- ^(>

Иными словами, для того чтобы убедиться, что пара (р*,9*) определяет равновесную ситуацию, достаточно проверить справед­ливость неравенства

H_Afaq^m)<H_A(p\q^m)

только для двух чистых стратегий игрока А(р = 0ир=1)и нера­венства

Я_в(р-,₉)<Я_в(р*,₉*)

только для двух чистых стратегий игрока В (q = 0 и q — I).

Четыре неравенства (2) позволяют провести поиск точки равно­весия уже вполне конструктивно.

Запишем средние выигрыши игроков А и Б в более удобной фор­ме. Имеем:

Я₄(р, q) = («и - «12 - «21 + CL22)P4 + (Я12 - й₂₂)р + (а.21 ~ ^2l)q + 0,22,

Нв(р, я) = (Ьц - Ь_и - Ъ₂₁ + b₂₂)pq + (bi2 - b₂₂)p -f (6₂i - 622)9 + &22«

Обратимся к первой из полученных формул. Полагая в ней сна­чала р — 1, а потом р = 0, получаем, что

Н_А{1, q) = (an - ai2 - fl2i 4- 022)9 + o_J2 4- («21 - 022)9^ Ял(0, q) - (а₂₁ - a₂₂)q + a₂2-

Рассмотрим разности

Н_А(р, q) - Ял(1,9) =(^flii - «12 - «2i + о₂₂)р9 + (^аи - «22)р -

- (an - oi2 - a₂i + 022)9 + ^a22 - 012, H_A(p, q) - Ял(0, g) =(a_n - o_i2 - o₂i + a₂₂)pq + (a₁₂ - a₂2)p. Полагая

С = ЙЦ — «₁₂ — 0₂1 4" 0₂2, Q = G₂2 — «12<

получим для них следующие выражения:

Нл(р,я) - Ял(1,9) = Cpq- ap-Cq + a =

= Cq(p - 1) - а(р - 1) = (р - l)(Cq - a),

Ял(р, Я) ~ Яд (О, <?) = Cpq - ар = p(Cq - a).

В случае если пара (р, q) определяет точку равновесия, эти раз­ности неотрицательны:

Н_А(Р, Я) ~ Я_Л(1,9) ^ 0, Я_л(р, 9) - Яд (О,9) ^ 0.

Поэтому окончательно получаем

(p-l)(Cq-a)>0, p(Cq-a) >0.

Из формул для функции Нв(р, q) при q — 1 и q = 0 соответственно имеем:

Н_В(р, 1) = (6ц - Ь₁₂ - &21 + Ь₂2)Р + (&12 — Ь₂2)Р + Ь₂1,

#в(р, 0) = (&12 - Ь₂₂)р + Ь₂₂. Разности

H_B{p,q)-H_B{p,l) и H_B(p,q)-H_B(p,0) с учетом обозначений

£ = 6ц — 6i2 - 6₂1 + Ь₂2, /5 = Ь₂₂ — &21

приводятся к виду

Я_В(Л 9) - Н_в(р, 1) = (₉ - \){Dp - 0), H_B(p,q)-H_B(p,0) = q(Dp-l3)

совершенно так же, как соответствующие разности для функции На-Если пара (р, q) определяет точку равновесия, то эти разности неотрицательны:

H_B{p,q) - H_B(p,l) 3> 0, H_B(p,q) - Н_в(р,0) > 0.

Поэтому

(я-1)(Лр-0)>О, q(Dp - /?) > 0.

Прежде чем приступать к последующим шагам, подведем некото­рые итоги.

Для того чтобы в биматричной игре

А = (^{ап а>2}) , В = (^Ь" ^Ь")

\а_и а₂2/ \°21 022/

пара (р, q) определяла равновесную ситуацию, необходимо и доста­точно одновременное выполнение следующих неравенств:

(р-1)(С₉-а)>0, p(Cq - а) >0,

(<Z-l)(Dp-/?)>0,

q(Dp - (3) >0,

0<р<1,

0<д<1,

(3)

где

С = ац — an — «21 + <з₂2, а ~ а₂2 — a<\2,

D = 6ц - 612 - 6₂i + 622, (3 — 622 — &2i«