Теория вероятностей и математическая статистика Основные понятия теории вероятностей Рекомендуемая литература
1. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики.- М.: Наука,1983.
2. Боровков А.А. Математическая статистика.- М.: Наука, 1984.
3. Боровков А.А. Теория вероятностей.- М.: Наука, 1986.
4. Козлов М.В., Прохоров А.В. Введение в математическую статистику.- М.: Изд-во МГУ, 1987.
5. Крамер Г. Математические методы статистики.- М.: Мир, 1975.
6. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей.- М.: Наука, 1982.
7. Ширяев А.Н. Вероятность.- М.: Наука, 1980.
8. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. – М.:Наука, 1974.
1.1. Предмет теории вероятностей
Известно, что слово «теория» связывается с наукой, а наука изучает закономерные явления; слово «вероятность» в обычном языке связывается с чем-то неопределенным, случайным, незакономерным. Теория вероятностей – это большой, интенсивно развивающийся раздел математики, изучающий случайные явления. Как разрешить это противоречие между тем, что теория вероятностей – это наука, а ее предмет – случайность, которая казалось бы не поддается никакому научному предсказанию? Однако противоречие здесь только кажущееся, так как теория вероятностей изучает закономерности случайных явлений.
Математика, как и любая другая наука, изучает закономерные явления реального мира. Связь между математикой и объектом исследования можно изобразить схематически следующим образом (рис. 1).
Рис. 1
Классическим примером такой схемы является механика, созданная Ньютоном. На основе многовековых наблюдений движений небесных тел, а также практической деятельности людей, связанной со строительством и производством, Ньютон сформулировал несколько простых законов механики в виде аксиом и закон всемирного тяготения, из которых дедуктивными рассуждениями можно было объяснить все явления, которые наблюдались ранее, а также предсказать многие новые факты. Построение математических моделей реальных механических и физических процессов привело к созданию математического анализа.
Закономерное событие – это событие, которое всегда осуществляется, как только создаются определенные условия. Закономерное явление – это система закономерных событий. Роль математики, в частности теории дифференциальных уравнений, при изучении реальных закономерных явлений общеизвестна. Но наряду с закономерными часто сталкиваются в практической деятельности с событиями незакономерными или, иначе, случайными. Это события, которые при одних и тех же условиях иногда происходят, а иногда – нет. Например, человек, заболевший гриппом в период эпидемии, может выздороветь, может получить тяжелые осложнения или умереть. Таким образом, исход заболевания гриппом случаен.
Итак, наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.
Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S. Например, если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 20°, то событие «вода в сосуде находится в жидком состоянии» есть достоверное. В этом примере заданные атмосферное давление и температура воды составляют совокупность условий S.
Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S. Например, событие «вода в сосуде находится в твердом состоянии» заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий предыдущего примера.
Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо герб, либо надпись. Поэтому событие «при бросании монеты выпал «герб» – случайное. Каждое случайное событие, в частности выпадение «герба», есть следствие действия очень многих случайных причин (в нашем примере: сила, с которой брошена монета, форма монеты и многие другие). Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, поскольку число их очень велико и законы их действия неизвестны. Поэтому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет, – она просто не в силах это сделать.
По-иному обстоит дело, если рассматриваются случайные события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий S, то есть если речь идет о массовых однородных случайных событиях. Оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняется определенным закономерностям, а именно вероятностным закономерностям. Установлением этих закономерностей и занимается теория вероятностей.
Итак, предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.
Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. Например, хотя, как было уже сказано, нельзя наперед определить результат одного бросания монеты, но можно предсказать, причем с небольшой погрешностью, число появлений «герба», если монета будет брошена достаточно большое число раз. При этом предполагается, конечно, что монету бросают в одних и тех же условиях.
В теории вероятностей используются результаты и методы многих областей математики (комбинаторики, математического анализа, алгебры, логики и т.п.). Однако теория вероятностей обладает некоторым своеобразием, поскольку она очень тесно связана с различными приложениями, причем приложения эти не столь привычны, как, например, приложения дифференциальных уравнений. Это приложения, рассматривающие задачи с нематематической постановкой, поэтому необходимо уметь построить соответствующую математическую модель.