Принципы группового выбора решений

Для группового ЛПР задача ПР состоит в следующем:

, где – это функция группового предпочтения, зависящая от индивидуальных предпочтений лиц, входящих в , – принцип согласования индивидуальных предпочтений (например, принцип большинства голосов).

Пусть – множество альтернативных решений. Чтобы осуществить выбор единственного оптимального решения Y^*, используется последовательное сужение множества альтернатив. Вначале исходное множество Y сужается до множества допустимых решений Y_доп , затем – до множества Парето-оптимальных решений Y_опт , среди которых выбирается единственное Y^*. Символически это выглядит как последовательная цепочка включений: Y Y_доп Y_опт Y*. Допустимым называют решение, удовлетворяющее множеству ограничений задачи. Парето-оптимальным – решение, для которого не существует более предпочтительного (множество недоминируемых решений). Парето-оптимальные решения несравнимы между собой, выбор из них единственного может быть сделан либо случайно, либо с привлечением дополнительной информации (эксперимент, опрос экспертов и т.п.).

Групповой выбор столь же распространен в практике ПР, как и ранее рассмотренный индивидуальный. Рациональная организация группового выбора требует учета поведения членов группы и согласования индивидуальных предпочтений. Это – малоизученная проблема, включающая в себя многокритериальный выбор, обработку экспертных оценок и т.п. (например, на военных советах первыми говорят младшие по званию).

Постановка задачи группового выбора следующая. Для выхода из проблемной ситуации сформировано множество альтернативных решений =(Y₁,…, Y_m). Групповое ЛПР состоит из участников, каждый из которых может выбирать решение из в соответствие со своими предпочтениями.

Оценка решений группой - это вектор предпочтений вида Для образования единого группового решения нужно согласовать принцип группового выбора L. Рассмотрим наиболее распространенные на практике принципы группового выбора.

1. Принцип большинства голосов. Он состоит в том, что участники могут образовывать коалиции , т.е. объединения участников в группы с совпадающими интересами. Каждая коалиция имеет свою функцию предпочтения, которая при измерении в количественных шкалах является взвешенной суммой индивидуальных предпочтений: , где – весовой коэффициент i-го участника, – функция предпочтения i-го участника в j-ой коалиции. Таким образом, у каждой коалиции своя функция предпочтения, а все множество коалиций характеризуется вектором предпочтений f = (f_V1,…,f_Vs). Если n_Vj – количество участников коалиции V_j , то n_V1 + … + n_Vs = d. Принцип большинства утверждает, что групповое предпочтение должно соответствовать предпочтению коалиции, которая имеет число голосов больше некоторого порогового значения, т.е. F(f_V1,…,f_Vs) = f_Vj при n_Vj >Сd/2, где 2≥С≥1. При С=1 говорят о простом большинстве голосов. При С=4/3 порог равен 2/3 (квалифицированное большинство), при С=2 порог равен d, что соответствует абсолютному большинству голосов. Принцип большинства голосов используется при демократическом способе принятия решений, он характерен для партийных и общественных организаций.

2. Принцип диктатора. В качестве группового предпочтения принимается предпочтение одного лица. Следовательно, функция группового предпочтения равна F(f₁,…,f_d) = f_k , где f_k – функция предпочтения диктатора. Принцип характерен для военных организаций.

Первый и второй принципы не учитывают интересы всех участников группы, поэтому часто группа теряет устойчивость и происходит ее распад. Существуют принципы, обеспечивающие в большей степени учет интересов всех участников группы. Эти принципы основаны на понятии V-оптимальности. Решение называется V-оптимальным, если оно оптимально для каждой коалиции v₁…v_s , т.е. ни одной коалиции не выгодно менять это решение, так как не существует лучшего. К подобного рода принципам относятся принципы Курно, Парето и Эджворта.

3. Принцип Курно. Подразумевается, что все коалиции являются одноэлементными, т.е. группа состоит из независимых участников. Тогда V-оптимальным является решение, получаемое по принципу Курно: никому из участников группы отдельно не выгодно менять решение, поскольку лучшего не существует.

4. Принцип Парето. Пусть множество коалиций состоит из одной большой коалиции, в которой существует сильная зависимость между участниками группы. Согласно принципу Парето всем участникам группы сразу невыгодно менять оптимальное решение, поскольку не существует лучшего. Группа может улучшать свои решения без нанесения ущерба каждому участнику в отдельности. Применение принципа Парето возможно только при высокой степени общности целей всех участников группы.

5. Принцип Эджворта. Пусть множество коалиций состоит из произвольного числа s ( ) коалиций. V-оптимальное по Эджворту решение – это решение, которое не выгодно менять ни одной коалиции, поскольку нет лучшего. Принцип Эджворта обобщает принципы Курно и Парето

Конкретизацию и применение 3, 4 и 5-го принципов невозможно произвести без учета характера отношений между коалициями. Существует три типа отношений между коалициями: статус-кво; конфронтация (антагонизм); рациональность.

При отношении статус-кво каждая коалиция стремится сохранить существующее положение дел. Это отношение характерно для экономических моделей при слабосвязанных между собой участниках.

При отношении конфронтации коалиции пытаются навредить друг другу, иногда даже в ущерб себе. На основе конфронтации построена вся теория игр, поскольку оптимальное решение определяется для наихудших условий и обеспечивает максимальный гарантированный выигрыш. Анализом подобного рода ситуаций занимается теория коалиционных (кооперативных) игр. В теории коалиционных игр доказано, что большие коалиции имеют преимущество перед малыми. Основным вопросом теории и практики коалиционных игр является следующий: насколько сильно стремление игроков вступить в коалицию, и какие взносы они платят друг другу? Рассмотрим пример коалиционной игры «третий лишний».

Играют три человека. Каждый зажимает в кулаке 1 или 2 спички. По команде разжимают и сравнивают. Если все спрятали одинаковое количество спичек, то ничья. Иначе, оставшийся лишним платит противникам 1 руб.

Платежная матрица, в случае если 2-й и 3-й игроки решили образовать коалицию, имеет следующий вид:

2+3 1	(1,1)	(1,2)	(2,1)	(2,2)
1	0	1	1	-2
2	-2	1	1	0

Ясно, что коалиция выберет стратегии (1,1) и (2,2). Тогда цена игры для 1-го игрока будет равна . Остается только один вопрос: как коалиция будет делить выигрыш?

Наконец при отношении рациональности каждая коалиция действует только в собственных интересах для получения максимального результата, что не обязательно приносит ущерб другим коалициям. Правда при рациональном подходе возникают затруднения, связанные с бесконечной цепочкой взаимосвязанных рассуждений по предсказанию поведения других коалиций (рефлексия). Прекратить бесконечную рефлексию можно только оборвав ее на определенном шаге (при конфронтации это делается сразу на первом шаге, исходя из предположения – «рассчитывай на худшее»).

Рассмотрим иллюстративный пример применения принципов группового выбора.

Пример: Групповое ЛПР состоит из двух участников и существует 2 решения проблемы, которые участники описывают ранговыми оценками от 1 до 3. Возможны 4 варианта состояний (табл.), причем нижний индекс – номер решения, а верхний – номер участника ГЛПР:

Предпочтения	Решения
	1	3	3	2
	2	3	3	1

В условиях статус-кво и принципа Курно каждый участник стремится не ухудшать свое состояние, следовательно, оптимальными будут первое и четвертое решение. Это означает, что обоим участникам выгодно одновременно принять либо решение Y₁ либо решение Y₂. Состояния (Y₁¹, Y₁²), (Y₂¹, Y₂²) являются состояниями равновесия по принципу Курно.

В условиях статус-кво и принципа Парето оптимальными также являются состояния (Y₁¹, Y₁²), (Y₂¹, Y₂²), т.к. из таблицы следует, что для них нет доминирующих.

Оптимальными состояниями по принципу Эджворта в условиях статус-кво также являются (Y₁¹, Y₁²), (Y₂¹, Y₂²). Все три принципа в условиях статус-кво дают одинаковый результат – информацию, что обоим участникам группы нужно принимать одинаковые решения: либо Y₁, либо Y₂. Но какое именно решение – однозначного ответа нет, поскольку оба они оптимальны по указанным принципам группового выбора. Поскольку в задаче только два решения, то условия гипотезы статус-кво ничего в данном примере не дают.

В условиях конфронтации оптимальными для 1-го участника будут решения Y₁ и Y₂ , т.к. 2-й будет выбирать Y₂ и Y₁ соответственно.

В условиях рациональности для 1-го участника оптимальным является решение Y₁, а для 2-го – Y₂, т.е. участники должны принимать разные решения.

Рассмотрим теперь аналогичный пример, но с другими ранговыми оценками предпочтений участников:

	(Y11, Y12)	(Y11, Y22)	(Y21, Y12)	(Y21, Y22)
	2	4	1	3
	2	1	4	3

Анализ показывает, что для всех трех типов отношений оптимальным по принципу Курно является состояние (Y₂¹, Y₂²), т.е. каждому участнику в отдельности невыгодно изменять это состояние.

Оптимальным по принципу Парето будут (Y₁¹, Y₁²), (Y₁¹, Y₂²), (Y₂¹, Y₁²). По Эджворту оптимальных решений не существует.

Отметим, что состояние (Y₁¹, Y₁²) предпочтительнее (Y₂¹, Y₂²), но оно не является устойчивым по принципу Курно. Поэтому, если оба участника будут действовать согласованно, то им обоим выгодно принять решение Y₁. Если они будут действовать разобщенно, то каждый может увеличить свое предпочтение, и, следовательно, ухудшит предпочтение другого.

Определение Парето-оптимальных решений

Определим Парето-множество оптимальных решений. Пусть имеется множество допустимых решений: и групповое ЛПР включает d участников.

Парето-оптимальным является решение , для которого не существует строго лучшего решения из множества . Для любого другого решения не входящего во множество Парето, всегда найдется решение, принадлежащее множеству Парето, которое его доминирует. Множество Парето-оптимальных решений обладает следующими свойствами:

1. Любые два Парето-оптимальных решения являются недоминирующими по отношению друг к другу;

2. Для любого решения, не принадлежащего множеству Парето, всегда найдется хотя бы одно Парето-решение, которое доминирует над ним.

Существует ряд методов определения Парето-оптимальных решений. Отметим два из них: метод прямого перебора и метод линейных форм.

Метод линейных форм сложнее, но позволяет уменьшить объем вычислений. По методу перебора при небольшом числе участников и решений предпочтения всех участников группового ЛПР попарно сравниваются между собой. Если случайно выбранное , то вносится в список Парето-оптимальных решений, а y_j , наоборот, исключается из расмотрения.

Рассмотрим пример, связанный с поиском Парето-оптимального решения. Пусть имеется 4 допустимых решения , ЛПР состоит из 2-х участников с функциями предпочтения . Оба ЛПР провели упорядочивание четырех решений следующим образом:

В соответствии с этим упорядочением значения функций предпочтения, измеренные в рангах, представлены в табл.:

ФП
	3	1	2	4
	2	3	1	3

Определим Парето-оптимальные решения, последовательно сравнивая пары решений по предпочтительности. – несравнимые решения. Оба считают, что y₃ > y₁ , поэтому y₁ не может быть оптимальным, его можно исключить из дальнейшего рассмотрения. Оба считают, что y₃ > y₄ , поэтому y₄ также можно исключить из рассмотрения. – между собой несравнимы, их необходимо включить в множество Парето-оптимальных решений: . Для наглядности применяют геометрическую интерпретацию решения, используя порядковую шкалу (Парето-оптимальные решения обведены контуром):