4.2. Детерминистский случай.

Метод Беллмана

Основная схема и главная идея метода динамического программирования (метода Беллмана) применительно к рассматриваемой проблематике достаточно проста и естественна. Рассмотрим конкретный пример де­терминистского дерева решений (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Дерево решений с заданными локальными затратами

На рис. 4.4 одна начальная и одна конечная вершина. Легко видеть, что, по существу, конечными являются все четыре вершины, соответствую­щие моменту времени /₃- Однако с помощью введения фиктивной верши­ны для /₄ удалось свести задачу к графу с одной конечной вершиной. Точно так же можно поступать и с начальными вершинами, если их не-

сколько. Числа у дуг графа означают трудоемкости (затраты), обеспечи­вающие переход от одной "решающей" вершины к другой. Дуги на про­межутке [t₃,t₄] имеют нулевые веса, что и означает, что все вершины, отвечающие t₃, являются, по существу, конечными. Главная задача за­ключается в выборе оптимального в смысле суммарных затрат пути, со­единяющего начальную и конечную вершины.

Основная вычислительная идея метода Беллмана состоит из двух моментов:

1. Задача поиска оптимального пути начинает решаться с конца.

2. Исходная задача погружается в множество аналогичных задач с раз­личными начальными вершинами и одной и той же конечной верши­ной. При этом предполагается, что в качестве начальной вершины по­следовательно выступают все без исключения вершины графа. __.

Реализуем метод Беллмана для приведенного примера. Будем продви­гаться по графу справа налево, выставляя определенные числа внутри каждой из вершин (помечая вершины) и указывая оптимальные направ­ления движения из каждой вершины с помощью одной или нескольких стрелок. При этом числа внутри квадратиков-вершин будут означать всегда одно и то же — это суммарные затраты, которые получаются при движении из данной вершины, выбранной в качестве начальной, по оп­тимальному пути (т. е. это наименьшие из возможных затрат). Например, если мы имеем ситуацию, изображенную на рис. 4.5, а, где вершины 2, 3, 4 уже помечены, и надо пометить вершину 1, то будем рассуждать сле­дующим образом (все вершины на рис. 4.5 для удобства объяснения про­нумерованы в правом верхнем углу).

Рис. 4.5. Метод динамического программирования Беллмана

Если в качестве начальной взять вершину 1, то поиск оптимального пути из нее сводится к сравнению трех чисел: 5+10=15, 4+10=14, 4 + 9= 13. Наименьшее из этих чисел— 13, и, следовательно, именно число 13 мы запишем в вершине 1, а стрелочкой соединим вершины 1 и 4 (рис. 4.5, б). Действительно, по построению число 9 (полученное на пре­дыдущем этапе) означает минимальные возможные потери при движении из вершины 4 как из начальной в фиксированную конечную вершину. Затраты в 4 единицы необходимы для перехода из вершины 1 в вершину 4. В итоге мы и получаем число 13. В двух других возможных случаях мы имеем большие затраты и, следовательно, оптимальный маршрут из вершины 1 лежит через вершину 4.

Продвигаясь справа налево, мы, обрабатывая последовательно верти­кальные слои вершин, разметим весь граф (рис. 4.6).

t Рис. 4.6. Размеченный граф

Для восстановления искомого оптимального пути достаточно пройти теперь уже слева направо в направлении стрелок, начиная из уже поме­ченной начальной вершины (оптимальный путь на рис. 4.6 выделен). Число 20 означает минимальные возможные затраты и само оно получа­ется уже на первом этапе разметки графа. Оптимальный путь, очевидно, может быть и не единственным.

Согласно методу Беллмана одновременно находятся все возможные оп­тимальные пути.

Можно видеть, что проведенная процедура позволяет находить абсо­лютный глобальный минимум. Предыдущие рассуждения легко преобра­зуются к строгому доказательству данного утверждения. В то же время важно понимать, что глобально оптимальная стратегия не есть суперпо­зиция локально оптимальных стратегий. Скажем, при попытке построе­ния оптимального пути на графе рис. 4.6 при движении слева направо и выборе каждый раз стрелок с наименьшим весом мы, конечно, терпим неудачу и получаем результат:

3 + 8 + 10 = 21, что больше 20.

Пример 4.1. Можно дать содержательную интерпретацию многоэтапной задачи принятия решений, представленной графом на рис. 4.4. Основная задача может быть сформулирована следующим образом. Некоторая фирма для реализации проекта должна осуществить постройку здания с привлечением субподрядчиков. На этапе [/₀, t\] необходимо выполнить нулевой цикл и возвести фундамент. Свои услуги для выполнения этого этапа предложили четыре фирмы, и стоимость работ составляет 5, 3, 7, 4 условные единицы соответственно. Возникает вопрос, какую фирму выбрать? На втором этапе [t_lt /J на построенном фундаменте необходи­мо возвести стены и кровлю. Имеются три фирмы, согласные выполнить указанный объем работ. Однако при этом возникают определенные тре­бования к качеству и конструкции фундамента. Каждая фирма может возводить свои стены из своего материала не на любом фундаменте. По­этому на графе на промежутке [f|,7j каждый квадратик ;₍ соединяется не с каждым квадратиком /₂- Даны только допустимые в указанном смысле соединения. Веса у дуг означают, как и прежде, стоимость работ.

Точно так же на этапе [/₂, /₃] мы имеем четыре фирмы, осуществляющие внутренние и отделочные работы и завершающие строительство здания.

Основная задача состоит в экономии затрат по привлечению субподряд­чиков. Выше эта задача была решена методом Беллмана.