19.4. Поиск равновесных ситуаций

Геометрический смысл условий (3) рассмотрим на примерах описан­ных выше биматричных игр.

19.4.1. Борьба за рынки

Напомним, что ситуация, сложившаяся в этой задаче, задается пла­тежными матрицами следующего вида:

Заменяя в неравенствах (3) величины С, a, D и (3 их конкретными значениями

С =-10-2-1-1 = -14, а = -1 - 2 = -3,

D= 5 + 2 + 1 + 1= 9, fS= 1 + 1= 2,

получаем

(р - 1)(-14? - (-3)) > 0, (q - 1)(9р - 2) > 0,

р(-14(?-(-3))^0, ^(Г) <?(9р-2)^0.

Рассмотрим сначала левую пару неравенств (/):

(р-1)(-14₉ + 3)£0, р(-14$ +3)5*0.

Возможны следующие три случая:

1)р = 1, 2)^ = 0, 3) 0 < р < 1.

Рассмотрим каждый из этих случаев подробно.

1. Полагая р — 1, получаем

0^0, -Uq + 3^0.

Отсюда

Uq - 3 < 0

и, значит,

. з

2. Полагая р = 0, получаем

0^0, -(-14<? +3)^0, 0 5*0,

откуда

Uq - 3 ^ 0

и, значит,

■ з

3. Наконец, положив 0 < р < 1, получим

-144 + 3^0, -Нз + З*: 0,

что возможно лишь в случае, если

-14д + 3 = 0,

т. е.

3

Сформулируем полученный результат:

2°.р = 0, О

_3_

14'

3°. О <Р < 1. «= ^7.

14 Перенесем теперь полученные результаты на чертеж. Введем на плоскости прямоугольную систему координат (p,q) и выделим на ней единичный квадрат, соответствующий неравенствам

О < р ^ 1, <К g < 1

(рис. 1).

Puc. i

Рис. 2

Нанесем на этот чертеж то множество точек, которое описывается условиями 1°, 2° и 3°. Это множество (на рис. 2 его точки выделены жирной линией) состоит из трех прямолинейных участков — двух вертикальных лучей и одного горизонтального отрезка — и предста­вляет собой "зигзаг". Нас будет интересовать только та его часть, которая попала в заштрихованный на рис. 2 единичный квадрат.

Теперь обратимся к правой части неравенств (г):

(g-l)(9j>-2)>0, q{$p - 2) ^ 0.

Три интересных для нас случая:

1) g = 1, 2) <? = 0, 3)0<9<1

приводят к следующему результату:

2°. <? = 0, р^|, 3°. Q<q< 1, р= -.

Перенося его на чертеж, получим второй "зигзаг", но уже гори­зонтальный (рис. 3).

Рис. 3

Рис. 4

Теперь остается только объединить полученное на рис. 4. Общая точка построенных зигзагов — точка равновесия — имеет координаты

2 -3_

9' 14

Соответствующие смешанные стратегии игроков имеют следую­щий вид:

_р_ /2 71 Г_3_ 11

l9'9J ' ^Q~\l4'14

а средние выигрыши игроков таковы:

^Яд(§'14)⁼"7' ^Яв(9'й) ⁼ 3-

Замечание. Попробуем разбить рассмотренную биматричную игру на две матричные игры с нулевой суммой.

1. Игра с матрицей А.

- - ( -¹! -\

Решая эту игру графическим методом, найдем оптимальную сме­шанную стратегию для игрока Л:

1 61 7'7i '

цену этой игры:

»А = -

а затем и оптимальную смешанную стратегию для игрока В:

_х14' 14 2. Игра с матрицей В.

Решая эту игру графическим методом, найдем оптимальную сме­шанную стратегию для игрока В:

121

цену этой игры:

о 1 "* = 3' а затем и оптимальную смешанную стратегию для игрока А:

2 7 9'9

Сравнивая полученные результаты с решением биматричной иг­ры, можно заметить следующее:

если каждый игрок будет применять свои стратегии в этой игре исходя только из матрицы своих выигрышей, то его оптимальный средний выигрыш совпадет с его выигрышем при равновесной ситу­ации; кстати, по своей матрице игрок может найти и оптимальную смешанную стратегию другого игрока (но не свою!).