29.4.2. Дилемма узников

Выигрыши игроков А я В описываются соответствующими матри­цами выплат:

А =

-1 -9

В =

-1

О

О -6 Г-----V-9 -б

Проведем необходимые вычисления. Имеем:

С = -1 - (-9) - 0 + (-6) = 2, а = -6 - (-9) - 3, D = -1 - 0 - (-9) + (-6) =2, (3 = -6 - (-9) = 3.

Отсюда

(р - 1)(2в - 3) > 0, («-1)(2р-3)>0,

¹ ' р(2д - 3) > 0, ^{l J} g(2p - 3) > О,

и тогда получаем, что

!'■ P=l, о|, 2*. р = 0, 9 < |, 3'. О <р< 1, ₉=|;

Полученные зигзаги изображены на рис. 5.

Рис. 5

Единственная равновесная ситуация — (0,0). Это ситуация, в ко­торой каждый из игроков выбирает вторую чистую стратегию — сознаться — и его потери составляют 6.

Как мы уже отмечали ранее, отклонение от ситуации равнове­сия одного из игроков не дает ему никаких преимуществ. Однако при одновременном отклонении обоих каждый из них может полу­чить больший выигрыш, нежели в равновесной ситуации. Например, в ситуации (1,1), когда оба игрока выбирают первую чистую страте­гию — молчать, каждый из них теряет лишь 1.

Напомним, что по условию задачи сговор (создание коалиции) между игроками недопустим.

Совершенно ясно, однако, что в рассматриваемых обстоятельст­вах ситуация (1,1) неустойчива — любой из узников, изменяя свою стратегию, увеличивает свой выигрыш (избегает наказания).

19.4.3. Семейный спор

Выигрыши игроков Л и В в этой биматричной игре задаются так:

Проводя необходимые вычисления:

С = 2-0-0 + 1 = 3, £ = 1-0-0 + 2 = 3,

и рассуждения:

_П) (р - 1)(3₉ - 1) > 0, («-1)(Зр-2)£0,

^[> р(3₉-1)£0, ^U g(3p-2)>0,

получаем, что

!'• P=hq>]j, 2*. р = 0, <К~, 3'. 0<р<1, <?=-;

1^Г. ?=1, Р^|, 2^Г. * = 0, р<|, З^г. 0 < ₉< 1, Р= |-

Геометрически полученный результат изображен на рис. б. Данная игра имеет три точки равновесия. Две из них отвечают чистым стратегиям игроков:

1 0\
о г)-
а=1-	-0 = 1,
0 = 2-	-0 = 2
Р=1,		q=l:		ЯЛ(1,1) = 2,	Яв(1,1) =1,
Р = 0Ч		q = 0:		Ял(0,0) = 1,	#в(0,0)=2,

Рис. 6

одна — смешанной:

1

Р =

3'

Я =

Я,

2 3'

2 3

В полученных результатах больше вопросов, чем ответов.

Ситуации (1,1) и (0,0) означают одновременный выбор игроками первых или соответственно вторых стратегий, т. е. определенную до­говоренность о совместных действиях.

Однако в данном случае есть еще одна ситуация равновесия, со­стоящая в выборе игроками вполне определенных смешанных стра­тегий. В ней оба игрока получают одинаковые выигрыши, правда, меньшие тех, которые давали две другие равновесные ситуации.

Какой же из этих трех ситуаций равновесия следует отдать пред­почтение? Какую выбрать игрокам?

Если бы игроки договорились выбрать одновременно, скажем, пе­рвую чистую стратегию, причем игрок А за получение большего вы­игрыша, чем игрок В, заплатил бы ему 1/2, то выигрыш каждым полутора единиц можно было бы считать и выгодным, и справед­ливым. Однако в рамках теории бескоалиционных игр такого рода дележи не рассматриваются.

Вполне ясно, что для выбора каждым из игроков своей линии поведения (напомним, что подобная ситуация может повторяться и повторяется многократно) необходимы либо расширение возможно­стей, имеющихся у игроков, либо иные, измененные критерии.

><j