19.1.3. Семейный спор

Два партнера договариваются о совместном проведении одного из двух действий, (1) и (2), каждое из которых требует их совместного участия.

В случае осуществления первого из этих двух действий выигрыш первого партнера (игрок А) будет вдвое выше выигрыша второго партнера (игрок В). Напротив, в случае осуществления второго из Эхих двух действий выигрыш игрока А будет вдвое меньше выигры­ша игрока В. Если же партнеры выполнят различные действия, то выигрыш каждого из них будет равен нулю.

Эта конфликтная ситуация приводит к биматричной игре, в кото­рой каждый из игроков имеет по две стратегии. Выигрыши игроков А и В соответственно описываются таблицами следующего вида:

Пояснение. Понятно, что различные конфликтные ситуации мо­гут иметь одну и ту же формализацию. В частности, рассмотренная биматричная игра часто интерпретируется как одновременный вы­бор супругами совместного развлечения: посещение оперного спек­такля или хоккейного матча. При этом в посещении оперного театра жена заинтересована в большей степени, чем муж, а при посещении стадиона наблюдается обратная картина. В случае же непреодоли­мости разногласий, возникших при выборе, день оказывается вообще испорченным.

Отсюда и название, вынесенное в заголовок.

19.1.4. Студент - преподаватель

Рассмотрим следующую ситуацию. Студент (игрок А) готовится к зачету, который принимает преподаватель (игрок В). Можно счи­тать, что у студента две стратегии — подготовиться к сдаче зачета ( + ) и не подготовиться ( —). У преподавателя также две стратегии — поставить зачет [+] и не поставить зачета [—].

В основу значений функций выигрыша игроков положим следу­ющие соображения:

Выигрыш студента Выигрыш преподавателя

Количественно это можно выразить, например, так:

19.2. Смешанные стратегии

В приведенных примерах (позже мы вернемся к подробному рассмо­трению каждого) описаны ситуации, в которых интересы игроков не сое падают. Естественно встает вопрос о том, какие рекомендации не­обходимо дать игрокам для того, чтобы моделируемая конфликтная ситуация разрешилась.

Иными словами, что мы будем понимать под решением биматри-чной игры?

Попробуем ответить на этот вопрос так: вследствие того что ин­тересы игроков не совпадают, нам нужно построить такое (компро­миссное) решение, которое бы в том или ином, но в одинаковом смы­сле удовлетворяло обоих игроков.

Иначе говоря, попробуем найти некую равновесную ситуацию, яв­ное отклонение от которой уменьшает выигрыш игрока.

Подобный вопрос мы ставили и при рассмотрении матричных игр. Напомним, что возникавшее при разработке минимаксного подхода

понятие равновесной ситуации приводило нас к поиску седловой точ­ки, которая, как оказалось, существует далеко не всегда, конечно, если ограничиваться только чистыми стратегиями игроков Л и В, т. е. стратегиями

Л\,..., Л_т, d\ ,..., п_п.

Естественно ожидать, что в более сложном случае биматричной игры дело вряд ли будет обстоять проще.

В матричных играх эта трудность была преодолена путем пере­хода к смешанным стратегиям, т. е. к такому поведению игроков, при котором они чередуют (чистые) стратегии А\,..., А_т, В\,..., В_п (конечно, свои собственные):

игрок А — стратегии А\, ..., А_т, игрок В — стратегии В\, ...

. . , ЈJ_n

с определенными частотами:

игрок А — стратегии А\, ..., А_т с частотами р\, ..., р_т, где

771

а игрок В — стратегии В и • • •, В_п с частотами q\, ..., q_n, где

п

qi > 0, ..., q_n ^ 0, ) \д_к = 1,

Ь=1

и оказалось, что в смешанных стратегиях равновесная ситуация су­ществует всегда.

Иными словами, любая матричная игра в смешанных стратегиях разрешима.

Поэтому, рассматривая здесь биматричные игры, разумно попро­бовать сразу же перейти к смешанным стратегиям игроков. Тем са­мым мы предполагаем, что каждая игра может быть повторена в неизменных обстоятельствах многократно.

В матричном случае смешивание стратегий приводило к расши­рению возможности выплат в том смысле, что расчет строился на вычислении средних выигрышей игроков Ли5, которые определя­лись по элементам платежной матрицы А и вероятностям р\ и фь:

В.А — 2_j ^агкРгЯк, Яд = — ^J ^aikPiqk-

i,k i,k

При смешанных стратегиях в биматричных играх также естестве­нно возникают средние выигрыши игроков А и В, вычисляемые по правилам, в которых уже нет никакой дискриминации игрока В:

S