19.4.4. Студент - преподаватель

Наконец, обратимся к последнему из приведенных выше примеров бкматричных игр — студент - преподаватель. Впечатления у каж-

дого из них относительно результатов общения в матричном виде выглядят следующим образом:

А =

'2 -1

1 О

в =

Проводя необходимые вычисления:

С = 2 + 1 -1+0 = 2, D = 1 + 3 + 2-1 = 5,

и рассуждения:

(р-1)(2*-1)>0,

(/)

получаем, что

р(2<? - 1) ^ О,

(г)

1 -3

•2 -1

а = 0 + 1 = 1,

/? = -1+2 = 1

(₉- 1)(5р- 1) > 0,

<?(5р-1)>0,

/ . _ , ^ 1 ы „ _ л ^ 1 о/

1- P=hq>^ ²- ^ ^{= 0}'^<2' 0<р<1, д =

1. 2'

Г. 9=1, P^jL 2^Г- 9 = 0, р^-, З^г. 0 < ₉ < 1, р=^

(рис. 7).

Рис. 7

Число точек пересечения у зигзагов (равновесных ситуаций) рав­но трем.

Две из них отвечают чистым стратегиям игроков:

р = 1,	д=1:	ЯА(1Д) = 2,	Яд(1,1) = 1,
Р = 0,	9 = 0:	ЯЛ(0,0) = 0,	ЯБ(0,0) = -1,

одна — смешанной:

В данной задаче в отличие от предыдущей все довольно ясно: наилучшим является выбор каждым из игроков первой чистой стра­тегии — хорошо подготовиться к зачету и поставить зачет.

Как нетрудно заметить, тем самым в этой задаче реализуется весьма редкая возможность, когда функции выигрыша каждого из игроков достигают своих максимумов одновременно.

Выгодность такой ситуации совершенно ясна. Ее устойчивость также вполне очевидна: любое отклонение от ситуации (1,1) одного из игроков или обоих игроков может привести разве что к уменьше­нию их выигрышей.

19.5. Некоторые итоги

На анализе полученных результатов стоит остановиться чуть под­робнее.

Из приведенных примеров видно, что числа С и D могут быть как положительными, так и отрицательными. Они могут, в частно­сти, даже обращаться в нуль.

Рассмотрим, однако, наиболее интересный в приложениях слу­чай, когда ни С ни D нулю не равны, т. е.

CD^Q.

Тогда, как нетрудно видеть, точка равновесия определяется парой

р а

^P=D> ^q=C-

Эти формулы являются весьма примечательными: в равновесной ситуации выбор игрока А полностью определяется элементами пла­тежной матрицы игрока В,

Ъ-22 — £>21

Р =

(и не зависит от элементов его собственной платежной матрицы), а выбор игрока В в равновесной ситуации полностью определяется элементами платежной матрицы игрока А,

(и не зависит от элементов его собственной платежной матрицы).

Иными словами, равновесная ситуация обоих игроков определя­ется не столько стремлением увеличить собственный выигрыш, сколько желанием держать под контролем выигрыш другого игрока (минимизировать этот выигрыш). И если, например, заменить в би-матричной игре матрицу выплат игроку А, а матрицу выплат игроку В оставить прежней, то игрок Л никак не изменит своего "равновес­ного" поведения (просто не обратит внимания на эту замену), в то время как игрок В изменит свою стратегию на новую, равновесную.

Таким образом, в биматричной (неантагонистической) игре мы вновь встречаемся с антагонизмом. Правда, теперь это уже не анта­гонизм интересов (как было в антагонистической, матричной игре), а антагонизль поведения.

Отметим, что в биматричными играх (в отличие от матричных) при наличии нескольких ситуаций равновесия средний выигрыш иг­рока в разных равновесных ситуациях различен (напомним, что в матричной игре выигрыш игрока один и тот же вне зависимости от количества точек равновесия).

Но если средние выигрыши разнятся, то какую равновесную си­туацию следует считать оптимальной?

Наконец, еще одно, не менее интересное обстоятельство. Вспо­мним, с какими трудностями мы столкнулись, пытаясь перевести эмоциональные оценки результатов общения студент - преподава­тель в количественные показатели. В целом сохраняя основные со­отношения, эти количественные оценки могут, конечно, изменяться как от студента к студенту, так и от преподавателя к преподавате­лю. Однако если эти изменения будут не слишком значительными — элементы платежной матрицы "пошевельнутся" слегка — то слег­ка "пошевельнутся" и зигзаги, не изменяя ни своей общей формы, ни взаимного расположения, а значит, число равновесных ситуаций не изменится. Впрочем, сказанное относится лишь к случаю, когда множество ситуаций равновесия конечно и состоит из нечетного чи­сла точек (одной или трех).

Как принято говорить в подобных случаях, это число устойчиво относительно малых шевелений.

Конечно, в некоторых биматричных играх равновесные ситуации случаются и в чистых стратегиях (в последнем из разобранных при­меров таких ситуаций даже две). И (в принципе, это совсем нетруд­но) можно дать определение ситуации равновесия в чистых страте­гиях. Найти ее (если она, конечно, существует) — дело довольно простое. Но, как показывают разобранные примеры, во-первых, чи­стой ситуации равновесия может вовсе не быть, и, во-вторых, даже при ее наличии не исключено существование равновесных ситуаций в смешанных стратегиях. И, чтобы найти их все, неизбежно прихо­дится обращаться к описанному выше подходу.