Другий ступінь високого рівня (бал 11)

31. 1. За рисунком 27 обґрунтувати твердження.

Яка б не була пряма і точка, що їй належить, існує пряма, що перетинає дану пряму в даній точці.

а)	б)	в)

Рис. 27

Пояснити, як з основних властивостей належності точок випливають твердження 2–4:

2. Які б не були дві точки, існує точка, що не лежить з ними на одній прямій.

3. Існують три точки, через які не можна провести пряму.

4. Існують три точки, через які можна провести пряму.

Доповнити запис пояснень (обґрунтувань) про те, що наведені твердження 5–6 випливають з основних властивостей належності точок.

5. Які б не були три точки, вони або належать, або не належать одній прямій.

Обґрунтування

1) Через дві задані точки за другою основною властивістю належності точок прямій можна ______________________________.

2) За першою основною властивістю належності точок прямій третя з цих точок або _______________, або ___________________.

3) Отже, три точки або лежать на одній прямій, або ______________.

6. Яка б не була пряма, існує пряма, що перетинає її.

Обґрунтування

1) Яка б не була пряма, існує точка А, що їй __________________, і точка В, що їй _________________________ за першою основною властивістю належності точок.

2) Через точки А і В можна ___________________________________ за другою основною властивістю належності точок.

3) Точка А належить і даній прямій, і проведеній, отже, вона є точкою ________________ цих прямих.

Третій ступінь високого рівня (бал 12)

1. На рисунку 28 позначено чотири точки A, B, C і D. Будь-які три з них не лежать на одній прямій. Через кожні дві з цих точок провести пряму. Підрахувати, скільки прямих проходить через кожну з точок і загальну кількість проведених прямих. Чи дорівнює загальна кількість проведених прямих сумі кількостей прямих, проведених через кожну точку? Відповідь обґрунтувати.

Рис. 28

2. Позначити п’ять точок на площині, жодні три з яких не належать одній прямій. Через кожні дві з цих точок провести пряму. Встановити, скільки прямих проведено через кожну з цих точок. Знайти загальну кількість проведених прямих. Як за кількістю точок і кількістю прямих, проведених через одну точку, встановити загальну кількість проведених прямих?

3. На площині позначено десять точок, через жодні три з них не можна провести пряму. Через кожні дві з цих точок проведено пряму. Скільки проведено прямих через кожну з точок і скільки всього прямих проведено?

4. На площині позначено декілька точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Через кожні дві з цих точок проведено пряму. Відомо, що через одну з цих точок проходить 12 прямих. Скільки всього прямих проведено?

2. Відрізок. Вимірювання відрізків Початковий рівень Перший ступінь початкового рівня (бал 1)

За рисунком 29 дати відповіді на питання 1–5. 1. Яка з точок А, D чи С лежить між двома іншими? 2. Яка з точок А, D чи С розділяє дві інші?

Рис. 29

3. Які точки лежать по один бік від точки А?

4. Які точки лежать по один бік від точки С?

5. Які точки лежать по різні боки від точки D?

За рисунком 30 дати відповіді на питання 1–4. 1. Як розміщена точка О відносно точок М і N? 2. Як розміщені точки О і N відносно точки М?

Рис. 30

3. Як розміщені точки М і О відносно точки N?

4. Як розміщені точки М і N відносно точки О?

5. Як розміщена точка М на прямій а відносно точок А і В на рисунку 31?

а)	б)	в)	г)

Рис. 31

35. Схематично (від руки) провести пряму і зобразити на ній:

1) точки А, С і D так, щоб точка D лежала між точками А і С;

2) точки А, С і D так, щоб точка А лежала між точками С і D;

3) точки М, О і K так, щоб точка М лежала між точками О і K;

4) точки А, С і D так, щоб точки А і D лежали по один бік від точки С;

5) точки М, Р і N так, щоб точка М розділяла точки Р і N;

6) точки В, С і D так, щоб точки С і D лежали по різні боки від точки В.

1. Дано пряму а та точки С і D (рис. 32). Як називається частина прямої а, що складається з усіх точок, що лежать між точками С і D? Чим є для цієї фігури точки С і D?	Рис. 32
2. Як називається фігура, зображена на рисунку 33?	Рис. 33

3. Як називаються фігури, зображені на рисунку 34, а)–г)?

а)	б)	в)	г)

Рис. 34

4. Яка з точок М, Р чи N належить відрізку АВ (рис. 35)? 5. Які з точок М, P та N не належать відрізку АВ (рис. 35)?	Рис. 35
6. На які відрізки розбивається відрізок CD точкою А (рис. 36)?	Рис. 36

37. Схематично (від руки) зобразити:

1) відрізок CD;

2) відрізок АВ і точку С, що йому належить;

3) пряму b та її відрізок AD;

4) пряму а та її відрізок з кінцями А і С.