Високий рівень Перший ступінь високого рівня (бал 10)

228. 1. Між сторонами кута (ab), що дорівнює 112, проходить промінь с. Знайти градусну міру кутів (ас) і (bc), якщо 3(ас) = 4(bc).

2. Між сторонами розгорнутого кута АОВ проходить промінь ОС. Знайти градусну міру кутів АОС і ВОС, якщо 4АОС = 5ВОС.

3. Між сторонами кута (ab) проходить промінь с. Знайти градусну міру кутів (ас) і (bc), якщо їхня різниця дорівнює 10° і 3(ас) = 4(bc).

4. Промінь, що проходить між сторонами прямого кута, ділить його на два такі кути, що половина одного кута дорівнює третині іншого. Знайти градусні міри цих кутів.

229. 1. Між сторонами кута (ad) проходять промені b і с, причому промінь b проходить між сторонами кута (ac). Встановити вид кута (аd) за градусною мірою, якщо (ас) = 52°, (bd) = 48°, (bc) = 10°.

2. Промінь ОС проходить між сторонами кута АОD, а промінь ОD між сторонами кута СОВ. Знайти градусну міру кута АОВ, якщо АОD = 70, СОВ = 80 і СОD = 30.

3. Між сторонами кута (ab) проходять промені c і d, причому промінь d проходить між сторонами кута (cb). Встановити вид кута (аb) за градусною мірою, якщо (аd) = (cb) = 70°, (cd) = 30°.

4. Між сторонами кута (ab) проходять промені m і n, причому промінь m проходить між сторонами кута (an). (аn) = (bm) (рис. 259). Довести (обґрунтувати), що (am) = (bn).

Рис. 259

230. 1. Дано промені a, b і с зі спільною початковою точкою О. Відомо, що (ab) = 120°, (aс) = 130°, (bс) = 110°. Встановити міркуваннями, чи є серед даних променів такий, що проходить між сторонами кута, утвореного двома іншими променями.

2. Дано промені ОА, ОВ і ОС. Відомо, що АОВ = АОС = ВОС = 120°. Чи є серед даних променів такий, що проходить між сторонами кута, утвореного двома іншими променями? Відповідь пояснити.

3. Промені a і с утворюють прямий кут, а промінь d утворює з ними кути по 135°. Чи є серед даних променів такий, що проходить між сторонами кута, утвореного двома іншими променями? Відповідь пояснити.

4. Дано три промені a, b і с зі спільною початковою точкою. (ab) = (aс) = 100°, (bс) = 160°. Довести, що жоден із променів не проходить між сторонами кута, утвореного двома іншими променями.

Другий ступінь високого рівня (бал 11)

Провести пряму MK, зобразити на ній точку О. Відкласти від променя OK у верхню півплощину кут BOK, а в нижню — кут AOK із заданими градусними мірами (1–4). Побудувати відрізок з кінцями на сторонах кута АОВ. Встановити, який із променів OK чи OM проходить між його сторонами. Обчислити градусну міру кута АОВ через суму градусних мір кутів, на які він розбивається променем, що проходить між його сторонами.

Рис. 260

1. АОK = 95°, BOK = 125°. 2. АОK = 80°, BOK = 130°.

3. АОK = 120°, BOK = 150°. 4. АОK = BOK = 140°.

232. 1. Між сторонами кута (ab), що дорівнює 140°, проведено промінь с. Знайти градусну міру кута між бісектрисами кутів (ас) і (bс).

2. Знайти градусну міру кута між бісектрисами кутів, на які ділить прямий кут будь-який промінь, що проходить між його сторонами.

3. Знайти градусну міру кута між бісектрисами кутів, на які ділить розгорнутий кут будь-який промінь, що проходить між його сторонами.

4. Між сторонами кута (aс) проведено промінь р. Знайти градусну міру кута (ас), якщо кут між бісектрисами кутів (ар) і (рс) дорівнює 76°.

233. Два промені, що проходять між сторонами даного кута, поділяють його на три кути, один з яких дорівнює сумі двох інших. Знайти градусну міру найбільшого з кутів, якщо даний кут:

1) прямий; 2) розгорнутий.

Два промені, що проходять між сторонами даного кута, поділяють його на три кути, один з яких дорівнює різниці двох інших. Знайти градусну міру найбільшого з кутів, якщо даний кут:

3) прямий; 4) розгорнутий.

234. Між сторонами кута с проведено k променів, що поділяють його на рівні кути. Знайти градусну міру кута між бісектрисами крайніх кутів, якщо:

1) с = 120°, k = 5;

2) кут с — прямий, k = 9;

3) кут с — розгорнутий, k = 19.

4. Між сторонами кута А проведено десять променів, що поділяють його на рівні кути. Знайти градусну міру кута А, якщо кут між бісектрисами крайніх кутів дорівнює 60°.