Розв’язання
Коли б дві прямі перетиналися у двох точках, то через ці точки проходили б дві дані прямі. Це неможливо, бо за другою властивістю належності точок і прямих через дві точки ________________________.
Отже, дві прямі не можуть мати двох точок перетину.
Завдання-орієнтир
Точки А і С належать прямій а, точка D не належить цій прямій. Чи існує пряма, якій належать усі три точки? Відповідь пояснити.
Розв’язання
За другою властивістю належності точок і прямих існує одна пряма, що проходить через точки А і С. Цією прямою є пряма а, якій точка D не належить. Отже, не існує прямої, якій належать точки А, С і D.
Другий ступінь достатнього рівня (бал 8)
1. Зобразити точки А, В і С так, щоб записи АВ і АС позначали одну й ту ж пряму.
2. Зобразити точки О, С і D так, щоб записи ОС і ОD позначали дві різні прямі.
3. Зобразити точки А, В, С і D так, щоб записи АВ і АС позначали одну і ту ж пряму, а записи АВ і AD — різні прямі.
4. Зобразити точки А, В, С і D так, щоб записи АВ, АС і AD позначали три різні прямі.
|
|
2. Дано пряму m та точки А і С. На рисунку 26 зображено один із випадків належності точок А і С прямій m. Виконати рисунки, що ілюструють три інші можливі випадки. |
|
Рис. 25
Рис. 263. Дано прямі c і d, що мають спільну точку, та точку О. Виконати рисунки, що ілюструють усі можливі випадки належності точки О даним прямим.
4. Дано прямі a, b і c, що мають спільну точку K, та точку S. Виконати рисунки, що ілюструють усі можливі різні випадки належності точки S прямим a, b і c.
Третій ступінь достатнього рівня (бал 9)
1. На площині проведено десять різних прямих і позначено дві точки. Скільком даним прямим можуть належати обидві дані точки? Відповідь пояснити.
2. Дано двадцять прямих, що перетинаються в точці О, і точка М. Скільком із даних прямих може належати точка М? Відповідь пояснити.
3. На площині дано десять точок, через кожні дві з яких проходить пряма. Відомо, що прямих всього десять. Як розміщені дані точки?
4. На площині дано двадцять точок, через кожні дві з яких проходить пряма. Відомо, що прямих всього двадцять. Скільки з даних точок належать одній прямій? Відповідь пояснити.
Високий рівень Перший ступінь високого рівня (бал 10)
1. Зобразити чотири точки А, В, С і D, що лежать на одній прямій, та точки M і K, що не належать цій прямій, але лежать на одній прямій з точкою D. Через кожні дві з цих точок проведено пряму. Скільки всього прямих проведено?
2. На площині дано шість точок, що лежать на одній прямій, і дві точки, що не належать цій прямій, але належать прямій, яка проходить через одну з даних шести точок. Через кожні дві з даних восьми точок проходить пряма. Скільки всього проведено прямих?
3. Зобразити точки О, А, В, С, D і K так, щоб записи ОА, ОВ і ОС позначали одну і ту ж пряму, а записи OD і OK — іншу. Через кожні дві з шести точок проведено пряму. Скільки різних прямих проведено?
4. Зобразити точки О, А, В, С і D так, що записи ОА і ОВ позначали одну і ту ж пряму, а записи ОС і OD — дві інші прямі, причому точки С і D лежать на одній прямій з точкою В. Через кожні дві точки проведено пряму. Скільки різних прямих проведено?
1. На площині позначено чотири точки. Відомо, що через будь-які три з них можна провести пряму. Встановити, чи існує пряма, якій належать усі дані чотири точки. Відповідь обґрунтувати.
2. На площині позначено чотири точки M, N, K і P. Відомо, що точки M, N і K лежать на одній прямій, і точки M, N і P лежать на одній прямій. Обґрунтувати, що дані чотири точки є точками однієї і тієї ж прямої.
3. На площині позначено сто точок. Відомо, що через кожні три точки проходить пряма. Чи можна стверджувати, що всі сто точок належать одній і тій ж прямій? Відповідь обґрунтувати.
4. На площині позначено п’ять точок A, B, C, D і O. Відомо, що точки А, В і С лежать на одній прямій; точки В, С і D лежать на одній прямій; точки А, D і О також лежать на одній прямій. Обґрунтувати, що всі п’ять точок лежать на одній прямій.