Третій ступінь достатнього рівня (бал 9)

320. Спираючись на властивість суміжних кутів, довести, що:

1) якщо два кути рівні, то рівні й суміжні з ними кути;

2) кут, суміжний з гострим кутом, є тупим кутом;

3) кут, суміжний з тупим кутом, є гострим кутом;

4) якщо два суміжні кути рівні, то вони прямі.

321. 1. Дано гострий кут А і тупий кут В, градусні міри яких відносяться як 2 : 3. Знайти градусні міри цих кутів, якщо кут, суміжний з одним з цих кутів, дорівнює 100°.

2. Дано гострий кут А і тупий кут В, градусні міри яких відносяться як 2 : 3. Знайти градусні міри цих кутів, якщо кут, суміжний з одним із цих кутів, дорівнює 110°.

3. Дано гострий і тупий кути, градусні міри яких відносяться як 5 : 24. Знайти градусні міри цих кутів, якщо кут, суміжний з одним із цих кутів, дорівнює 60°.

4. Дано два кути, різниця градусних мір яких дорівнює 110°. Знайти градусні міри цих кутів, якщо кут, суміжний з одним із цих кутів, дорівнює 150°.

Високий рівень Перший ступінь високого рівня (бал 10)

322. 1. Бісектриса кута (ab) утворює з його стороною кут, удвічі більший від кута, суміжного з кутом (ab). Знайти градусну міру кута (ab).

2. Бісектриса кута (cd) утворює з його стороною кут, на 15° більший від кута, суміжного з кутом (cd). Знайти градусну міру кута (cd).

3. Бісектриса кута (ac) утворює з його стороною кут, на 12° менший від кута, суміжного з кутом (aс). Знайти градусну міру кута (aс).

4. Бісектриса кута AOD утворює з його стороною кут, у 4 рази більший від кута, суміжного з кутом AOD. Знайти градусну міру кута AOD.

323. 1. Сума градусних мір кута А і двох суміжних з ним кутів менша від 270°. Довести, що кут, суміжний з кутом А, є гострим.

2. Сума градусних мір кута С і двох суміжних з ним кутів більша від 270°. Довести, що кут, суміжний з кутом С, є тупим.

3. Довести, що коли сума градусних мір кута і двох суміжних з ним кутів менша від 270°, то даний кут є тупим.

4. Довести, що коли сума градусних мір кута і двох суміжних з ним кутів більша від 270°, то даний кут є гострим.

324. Знайти градусну міру кута, якщо (1–3):

1) третя частина кута дорівнює п’ятнадцятій частині суміжного з ним кута;

2) четверта частина кута дорівнює п’ятій частині суміжного з ним кута;

3) третя частина кута дорівнює суміжного з ним кута.

4. Знайти градусну міру суміжних кутів (ас) і (ас₁), якщо 5(ас) = 4(ас₁).

325. 1. Градусна міра кута А дорівнює суми градусних мір двох кутів, суміжних з ним. Знайти градусну міру кута А.

2. Один із кутів, утворених при перетині двох прямих, дорівнює суми суміжних з ним кутів. Знайти градусну міру даного кута.

3. Градусна міра кута В дорівнює суми градусних мір двох кутів, суміжних з ним. Знайти градусну міру кута, суміжного з кутом В.

4. Кут (ab), утворений при перетині двох прямих, дорівнює суми двох суміжних з ним кутів. Знайти градусну міру кута, суміжного з кутом (ab).

Другий ступінь високого рівня (бал 11)

326. 1. Довести, що якщо кут більший від суміжного з ним кута, то він є тупим.

Вказівка. Допустити протилежне, тобто, що кут не є тупим.

2. Довести, що якщо кут менший від суміжного з ним кута, то він є гострим.

3. Довести, що якщо кут, суміжний з даним кутом, більший від нього, то даний кут є гострим.

4. Довести, що якщо кут, суміжний з даним кутом, менший від нього, то даний кут є тупим.

327. 1. Дано кути А і В. Відомо, що сума градусних мір кута А і кута, суміжного з кутом В, дорівнює 140°. Знайти суму градусних мір кута В і кута, суміжного з кутом А.

2. Дано кути С і D. Відомо, що сума градусних мір кута С і кута, суміжного з кутом D, менша від 180°. Довести, що сума градусних мір кута D і кута, суміжного з кутом С, більша від 180°.

3. Дано кути А і С. Відомо, що сума градусних мір кута А і кута, суміжного з кутом С, менша від 180°. Який з кутів більший — А чи С? Відповідь обґрунтувати.

4. Дано кути А і D. Відомо, що сума градусних мір кута А і кута, суміжного з кутом D, дорівнює 200°. Який з кутів — А чи D — більший і на скільки градусів?

5. Дано кути М і О. Відомо, що сума градусних мір кута М і кута, суміжного з кутом О, більша від 180°. Який з кутів — М чи О — більший? Відповідь обґрунтувати.

6. Дано кути О і Р. Відомо, що сума градусних мір кута О і кута, суміжного з кутом Р, дорівнює 160°. Який з кутів — О чи Р — більший і на скільки градусів?

328. Знайти градусну міру кожного з двох суміжних кутів, якщо:

1) менший з них удвічі більший від їхньої різниці;

2) більший з них удвічі більший від їхньої різниці;

3) один із них дорівнює їхньої різниці;

4) один із них утричі більший від їхньої різниці.

1. Від променя а у різні півплощини відкладено (ab) = 120° і (ас) = 110° (рис. 383). Знайти градусну міру кута (bc).	Рис. 383
2. Від променя m у різні півплощини відкладено (mn) = 30° і (mk) = 160° (рис. 384). Знайти градусну міру кута (nk).	Рис. 384

3. Від променя а в різні півплощини відкладено (ab) = (ac) = 140°. Знайти градусну міру кута (bc).

4. Від променя OA в різні півплощини відкладено BOA = 95° і СОА = 105°. Знайти градусну міру кута ВОС.