Високий рівень Перший ступінь високого рівня (бал 10)

290. 1. Довести, що коли пряма перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає і другу з цих прямих.

2. Довести, що коли пряма паралельна до однієї з двох паралельних прямих, то вона паралельна і до другої з цих прямих.

3. Довести, що коли пряма паралельна до однієї з двох прямих, що перетинаються, то другу з цих прямих вона перетинає.

4. Довести, що коли дві прямі паралельні до третьої прямої, то вони паралельні між собою.

Другий ступінь високого рівня (бал 11)

1. Дано пряму a і точки С і D, що лежать у різних півплощинах відносно прямої а (рис. 346). Провести через кожну з точок С і D по дві прямі так, щоб утворилася одна точка перетину цих прямих із прямою a.

Рис. 346

2. Дано пряму а і дві точки, що лежать у різних півплощинах відносно прямої а. Через кожну з цих точок проведено дві прямі. Скільки найменше і скільки найбільше може бути точок перетину даних прямих із прямою а? Виконати відповідні рисунки.

3. Дано пряму с і три точки, що лежать в одній півплощині відносно цієї прямої. Через кожну з цих трьох точок проведено прямі, паралельні прямій с. Скільки може бути проведено різних прямих? Виконати відповідні рисунки.

4. Дано пряму с і дві точки, що лежать в різних півплощинах відносно цієї прямої. Через кожну з цих точок проведено три прямі. Скільки найменше і найбільше може бути точок перетину даних прямих з прямою а? Виконати відповідні рисунки.

Третій ступінь високого рівня (бал 12)

292. 1. Дано сорок різних прямих, кожні дві з яких паралельні, і пряму с. Відомо, що пряма с перетинає одну із сорока прямих. Довести, що пряма c перетинає і будь-яку іншу з даних сорока прямих.

2. Дано двадцять різних прямих, кожні дві з яких паралельні, і пряму b. Відомо, що пряма b паралельна до однієї з цих двадцяти прямих. Довести, що пряма b паралельна кожній з цих прямих.

3. Дано сто різних прямих, що проходять через точку А, і пряму b, що не проходить через цю точку. Відомо, що пряма b паралельна до однієї з цих ста прямих. Довести, що пряма b перетинає будь-яку іншу з цих ста прямих.

4. Дано десять різних прямих, кожна з яких паралельна прямій с. Довести, що будь-які дві з цих десяти прямих паралельні.

Розділ ІІ. СУМІЖНІ І ВЕРТИКАЛЬНІ КУТИ

9. СУМІЖНІ КУТИ

Початковий рівень

Перший ступінь початкового рівня (бал 1)

1. О — точка прямої АВ (рис. 347). Назвати спільну сторону кутів АОС і ВОС та їхні сторони, що є доповняльними променями.	Рис. 347
2. О — точка прямої MN (рис. 347). Назвати спільну сторону кутів KOM і KON та їхні сторони, що є доповняльними променями.	Рис. 348
3. C — точка прямої AB (рис. 349). Назвати спільну сторону кутів ACB і BCD та їхні сторони, що є доповняльними променями.	Рис. 349
4. О — точка прямої CD (рис. 350). Назвати спільну сторону кутів COM і DOM та їхні сторони, що є доповняльними променями.	Рис. 350
1. Як називаються кути (ab) і (a1b) (рис. 351), у яких сторона b спільна, а сторони a і a1 — доповняльні промені?	Рис. 351
2. О — точка прямої АВ (рис. 352). Як називаються кути COА і СОВ, у яких сторона ОС спільна, а промені ОА і ОВ — доповняльні?	Рис. 352

3. Як називаються кути, у яких одна сторона спільна, а дві інші сторони — доповняльні промені?

4. Як називаються кути (ас) і (ас₁), у яких сторона а — спільна, а сторони с і с₁ — доповняльні промені?

295. У символічних записах 1)–4) суміжних кутів вказати їхню спільну сторону і доповняльні промені:

1) (ad) і (ad₁); 2) (cm) і (dm);

3) MOK і POK; 4) DOA і COA.

296. Схематично (від руки) зобразити:

1) два суміжні кути з вершиною О;

2) два суміжні кути зі спільною стороною с;

3) два суміжні кути зі спільною стороною ОА;

4) два суміжні кути зі спільною стороною m і доповняльними променями а і а₁.