Другий ступінь достатнього рівня (бал 8)

1. Дано пряму а і точку М, що їй не належить (рис. 336). Через точку М проведено дві прямі. Як можуть бути розміщені ці прямі відносно прямої а? Відповідь проілюструвати рисунком і пояснити на основі властивості паралельності прямих.

Рис. 336

2. Дано пряму а і точку М, що їй не належить (рис. 418). Через точку М проведено три різні прямі. Виконати два рисунки, що ілюструють два можливі випадки розміщення проведених прямих відносно прямої а. Відповідь пояснити.

3. Дано пряму с і точку О, що їй не належить. Через точку О проведено п’ять різних прямих. Як можуть бути розміщені проведені прямі відносно прямої с? Відповідь проілюструвати рисунком і обґрунтувати.

4. Дано пряму d і точку P, що їй не належить. Через точку Р проведено сто різних прямих. Як можуть бути розміщені проведені прямі відносно прямої d? Відповідь обґрунтувати.

287. 1. Дано пряму с і точку М, що їй не належить. Через точку М проведено прямі, що перетинають пряму с у десяти точках. Скільки прямих проведено? Пояснити, чому задача має два розв’язки.

2. Дано пряму і точку, що їй не належить. Через точку проведено декілька прямих. Скільки може бути проведено прямих, якщо точок перетину сто? Відповідь пояснити.

3. Через вершину А трикутника АВС проведено декілька прямих, які перетинають пряму ВС в дев’яти точках. Жодна із прямих не проходить через точки В і С. Скільки прямих проведено? Відповідь пояснити.

4. Через вершину М трикутника MOK проведено декілька прямих, жодна з яких не співпадає із прямими МО і MK. Проведені прямі перетинають пряму OK у двадцяти точках. Скільки прямих проведено? Відповідь пояснити.

Третій ступінь достатнього рівня (бал 9)

1. Дано дві прямі m і k, що перетинаються в точці О (рис. 337). Пояснити, чому будь-яка пряма, що паралельна прямій m, буде перетинати пряму k.	Рис. 337
2. Дано паралельні прямі m і n (рис. 338). Пояснити, чому пряма k, що перетинає пряму n у точці K, буде перетинати і пряму m.	Рис. 338
3. Через точку М, що лежить поза трикутником АВС (рис. 339), проведено пряму b, яка паралельна прямій АС. Пояснити, чому прямі b і АВ перетинаються.	Рис. 339
4. Через точку А, що лежить поза трикутником MOK, проведено пряму а, яка паралельна прямій ОK (рис. 340). Чи перетинатиме пряма ОМ пряму а? Відповідь пояснити, спираючись на основну властивість паралельних прямих.	Рис. 340
1. Дано паралельні прямі а і с. Через точку М, що не належить цим прямим, проведено пряму d, яка паралельна прямій с (рис. 341). Обґрунтувати, що пряма d паралельна прямій а.	Рис. 341
2. Дано аd (рис. 342). Обґрунтувати, що кожна пряма, яка паралельна прямій а, буде паралельна і прямій d.	Рис. 342
3. Дано прямі m, a і c (рис. 343). Відомо, що пряма m паралельна прямим а і с. Обґрунтувати, що прямі a і с паралельні.	Рис. 343
4. Дано прямі р, k і d (рис. 344) такі, що pk, pd. Обґрунтувати, що kd.	Рис. 344

^ Завдання-орієнтир

Дано прямі a, b і c (рис. 345) такі, що ac, ba. Обґрунтувати, що bc. Розв’язання

Рис. 345

Вказівка. Провести міркування способом «від супротивного»: зробити припущення, протилежне висновку, і прийти до протиріччя з основною властивістю паралельних прямих.

1. Припустимо, що прямі b і c не паралельні, тобто мають спільну точку.

2. Тоді через цю спільну точку за умовою проходять дві прямі (b і с), які паралельні прямій a.

3. Це неможливо за основною властивістю паралельності прямих.

Отже, прямі b і с паралельні.