Третій ступінь середнього рівня (бал 6)

266. 1. Побудувати трикутник АВС, у якого А = 50°, АВ = 5 см, В = 70° за планом:

а) провести промінь АМ і відкласти на ньому відрізок AВ = 5 см (рис. 294);

б) відкласти від променя АВ у верхню півплощину KAB = 50° (рис. 295);

в) відкласти від променя ВМ у верхню півплощину PBM = 180° – – 70° = 110° (рис. 296);

г) точку перетину променів AK і PB позначити через С.

АВС — шуканий.

Рис. 294	Рис. 295	Рис. 296

2. Побудувати ABC, у якого АВ = 4 см, А = 60°, В = 80°.

3. Побудувати ABC, у якого АВ = 5 см, А = 75°, В = 30°.

4. Побудувати MOK, у якого MO = 4,5 см, M = 40°, O = 30°.

5. Побудувати ACD, у якого АC = 3,5 см, А = 65°, C = 40°.

6. Побудувати ABD, у якого АВ = 4 см, А = 50°, В = 50°.

Високий рівень Перший ступінь високого рівня (бал 10)

267. Позначити шістьма різними способами трикутник із вершинами в точках:

1) А, В і С; 2) А, С і D;

3) М, О і K; 4) Р, R і S.

268. 1. На площині позначено точки А, В і D такі, що для трикутника з вершинами у цих точках виконується рівність ABD = ADB. Довести, що у трикутнику з вершинами в даних точках дві сторони рівні.

2. На площині позначено точки М, N і K такі, що для трикутника з вершинами у цих точках виконується рівність MNK = NMK. Довести, що у трикутнику з вершинами в даних точках два кути рівні.

3. На площині позначено точки А, С і D такі, що для трикутника з вершинами у цих точках виконується рівність АСD = CDA. Довести, що у трикутнику з вершинами в даних точках усі кути рівні.

4. На площині позначено точки О, Р і K такі, що для трикутника з вершинами у цих точках виконується рівність OPK = PKO. Довести, що у трикутнику з вершинами в даних точках усі сторони рівні.

Другий ступінь високого рівня (бал 11)

269. 1. Для трикутника з вершинами в точках А, В і С виконується рівність АВС = АCВ. Обчислити периметр цього трикутника, якщо АВ = 5 см, ВС = 6 см.

2. Знайти периметр трикутника з вершинами в точках P, О і K, якщо OP = 7 см, PK = 6 см і для трикутника виконується рівність POK = KOP.

3. Для трикутника з вершинами в точках А, С і D виконується рівність АСD = DАC. Чи можна визначити периметр даного трикутника, якщо відома довжина однієї сторони АС? Якщо можна, то знайти його за умови, що АС = а.

4. Знайти периметр трикутника з вершинами в точках М, О і K, якщо MK = 3 см і для трикутника виконується рівність MOK = KMO.

Третій ступінь високого рівня (бал 12)

270. 1. Зобразити точки А, В і С так, щоб АВ = 5 см і АВС = ВСА.

2. Побудувати трикутник з вершинами в точках М, О і K такий, що МО = 4 см, а для вершин виконується рівність MOK = KMO.

3. Побудувати трикутник з вершинами в точках А, В і С такий, що АВ = 4 см, ВС = 3 см і для вершин виконується рівність АВС = АСВ.

4. Побудувати трикутник з вершинами в точках М, О і K такий, що МО = 4 см, ОK = 5 см і для трикутника виконується рівність MOK = MKO.

1. Дано чотири точки А, В, С і D, що лежать на одній прямій, і точку О, що не лежить на цій прямій (рис. 297). Кожні дві з п’яти точок сполучено відрізком. Скільки утворилося трикутників, однією з вершин яких є точка А; точка В; точка С; точка D? Скільки всього утворилося трикутників?	Рис. 297
2. Дано шість точок А1, А2, А3, А4, А5 і А6, що лежать на прямій а, і точку О, що не лежить на цій прямій (рис. 298). Кожні дві з семи точок сполучено відрізком. Скільки утворилося трикутників з вершинами в даних точках, однією з яких є точка А3? Скільки всього утворилося трикутників?	Рис. 298
3. Дано вісім точок А1, А2, А3, А4, А5, А6, А7 і А8, що лежать на прямій а, і точку О, що не лежить на цій прямій (рис. 299). Кожні дві з дев’яти точок сполучено відрізком. Скільки всього утворилося трикутників, вершинами яких є три з даних точок?	Рис. 299

4. Дано сім точок, що лежать на прямій, і точку, що на ній не лежить. Кожні дві точки сполучено відрізком. Скільки всього утворилося трикутників, вершинами яких є три з даних восьми точок?