Другий ступінь високого рівня (бал 11)

103. Точки А, В і С, що не лежать на одній прямій, послідовно сполучено відрізками АВ, ВС і СА. Довести (1–4), що коли пряма, яка не проходить через точки А, В і С, ...

1) перетинає відрізок АВ, то вона перетинає або відрізок ВС, або відрізок АС;

2) перетинає відрізки АВ і ВС, то вона не перетинає відрізок АС;

3) не перетинає відрізки АВ і АС, то вона не перетинає відрізок ВС;

4) не перетинає відрізки АС і ВС, то вона не перетинає відрізок АВ.

Прямі а і b, що перетинаються, поділяють площину на чотири частини (чверті), позначені відповідно І, ІІ, ІІІ і IV (рис. 108). Точка М лежить у ІІ чверті. Зобразити точку А і вказати чверть, у якій вона розміщена, якщо точка А лежить з точкою М:

Рис. 108

1) в одній півплощині як відносно прямої а, так і відносно прямої b;

2) в одній півплощині відносно прямої а і в різних півплощинах відносно прямої b;

3) у різних півплощинах відносно прямої а і в одній півплощині відносно прямої b;

4) у різних півплощинах відносно прямої а і в різних півплощинах відносно прямої b.

Третій ступінь високого рівня (бал 12)

105. Дано пряму а і декілька точок, що не належать цій прямій. Кожну пару точок сполучено відрізком. Скільки з даних відрізків перетинають пряму, а скільки — не перетинають, якщо:

1) одна точка лежить в одній півплощині, а п’ять точок — в іншій півплощині відносно прямої а;

2) дві точки лежать в одній півплощині, а чотири точки — в іншій півплощині відносно прямої а;

3) чотири точки лежать в одній півплощині, а шість точок — в іншій півплощині відносно прямої а;

4) п’ять точок лежать в одній півплощині, а п’ять — в іншій півплощині відносно прямої а?

4. Коло: Означення Початковий рівень Перший ступінь початкового рівня (бал 1)

1. Як називається фігура, зображена на рисунку 109? 2. Як називається фігура (рис. 110), яка складається з усіх точок площини, що розміщені на відстані 5 см від даної точки О? 3. Як називається фігура, яка складається з усіх точок площини, що розміщені на однаковій відстані від даної точки? 4. Як називається фігура, яка складається з усіх точок площини, що розміщені на відстані 10 км від даної точки М? 5. Як називається точка, від якої розміщені на однаковій відстані всі точки кола?	Рис. 109
	Рис. 110
На рисунку 111 зображено коло з центром у точці О. Як називається: 1) відрізок ОА, що сполучає центр кола О і точку А на колі; 2) відрізок CD, що сполучає точки С і D кола та проходить через центр кола точку О; 3) число, що дорівнює відстані між точками О і А;	Рис. 111

4) число, що дорівнює відстані між точками D і C?

Другий ступінь початкового рівня (бал 2)

108. 1. Яка з наведених фігур називається колом?

Фігура, яка складається з...

а) декількох точок площини, що розміщені на однаковій відстані від даної точки;

б) нескінченної кількості точок;

в) усіх точок площини, що розміщені на однаковій відстані від даної точки.

2. Яка з наведених фігур називається колом?

Фігура, яка складається з усіх точок площини, які розміщені на однаковій відстані...

а) від даної прямої; б) від даних двох прямих;

в) від даної точки; г) від двох даних точок.

3. Яка з наведених фігур є колом з центром у точці О радіуса 5 см?

Фігура, яка складається з...

а) усіх точок площини, які розміщені на відстані 2,5 см від точки О;

б) деяких точок площини, які розміщені на відстані 5 см від точки О;

в) усіх точок площини, які розміщені на відстані 5 см від точки О;

4. Яка з наведених фігур називається радіусом кола?

а) Відрізок, що сполучає дві точки кола;

б) пряма, що перетинає коло;

в) пряма, що проходить через центр кола;

г) відрізок, що сполучає центр кола і точку на ньому.

5. Яке з наведених чисел називають радіусом кола?

Число, що дорівнює відстані між...

а) двома будь-якими точками кола;

б) центром і точкою на колі;

в) деякими двома точками кола.

6. Який з наведених відрізків називають діаметром кола?

Відрізок, що сполучає...

а) дві точки кола;

б) центр кола і точку на ньому;

в) дві точки кола і проходить через центр кола;

г) дві точки кола і не проходить через центр кола.

На рисунку 112 зображено коло з центром у точці О радіусом 4 см. Чому дорівнює: 1) довжина відрізка ОВ; 2) довжина відрізка АВ; 3) діаметр кола; 4) довжина відрізка ОМ?

Рис. 112

110. М, Р і K — точки кола радіуса 6 см з центром у точці О. Чому дорівнює довжина відрізка:

1) ОР; 2) ОМ;

3) MK, якщо точки М, K і О лежать на одній прямій;

4) MP, якщо пряма МР проходить через точку О?